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Un razzo è in orbita circolare attorno alla luna.
Come e quanto gas deve espellere per toccare un'orbita circolare complanare alla sua più bassa nel punto opposto alla luna? (il gas viene sparato ad una velocità definita).

Non ho capito...Che vuol dire "nel punto opposto alla luna"?

Mi spiego meglio...Se il razzo è in orbita circolare nel punto opposto dalla luna ci arriva da solo senza bisogno di esppellere carburante!

Sia m la quantita' di carburante consumato, M la massa del razzo, L la massa della Luna, R l'orbita di partenza e r<R l'orbita di arrivo.

Per la Conservazione dell'Energia, l'Energia Meccanica del razzo a distanza R è uguale all'Energia Cinetica assunta dal razzo piu' l'Energia Meccanica dello stesso a distanza r:
$ E_R = E_C + E_r $

$ E_R_{cin} = \frac{1}{2} (M+m) v_R^2 $

Calcolo $ v_R^2 $ uguagliando Forza Centripeta e Forza Gravitazionale di una qualsiasi massa $ \mu $:
$ \mu \frac{v^2}{d} = \gamma \mu \frac{M}{d^2} \Leftrightarrow $v_R^2 = \gamma \frac{L}{R} $

$ E_R_{pot} = -(M+m) \gamma \frac{L}{R} $

$ E_R = -\frac{1}{2} (M+m) \gamma \frac{L}{R} $

Anologo calcolo per $ E_r = -\frac{1}{2} M \gamma \frac{L}{r} $

Quindi: $ 1/2 (M+m) \gamma \frac{L}{R} = \frac{1}{2} m v^2 -\frac{1}{2} M \gamma \frac{L}{r} $

Facendo i calcoli si ottiene:

$ \[ m = \frac{M \gamma L}{v^2 R + \gamma L } ( \frac{R}{r} - 1 ) \] $


Domanda: l'Energia Potenziale del carburante che esce dal razzo è trascurabile??
Datemi dei suggerimenti a riguardo...

scusa, ma potresti spiegare meglio tu questo problema che non l'ho proprio capito?
Mi riferisco prorpio al testo......

in effetti anche io nn ho capito perfettamente il testo, nel senso che nella mia soluzione ho provato ad interpretare..
cmq io ho risolto il problema nel caso in cui il razzo debba semplicemente raggiungere un'orbita inferiore, in seguito raggiungerà il punto opposto senza spendere carburante perchè ci pensa la Forza centripeta..
Forse sarebbe più interessante un problema del tipo:
qual'è il minimo consumo di carburante affinchè il razzo raggiunga il punto opposto di un'orbita inferiore?
A quel punto il problema dovrebbe diventare più complesso e considerare la traiettoria più conveniente, a forma di ellisse, per raggiungere il punto suddetto

Ah,nn avevo letto orbita più bassa!Comunque il problema si risolve con conservazione dell'energia(nell'orbita di trasferimento!) e conservazione del momento angolare(sempre nell'orbita di trasferimento!).Il principio d conservazione dell'energia per come l'hai applicato è sbagliato perchè non hai considerato che i razzi fanno variare l'energia meccanica!

comunque non mi hai spiegato cosa vuole il problema. Potreste riformulare il quesito?

La sonda si trova su un'orbita di raggio $ R $.Deve arrivare in un'orbita circolare più bassa di raggio $ r<R $.La sonda si trova inizialmente in un punto della circonferenza di raggio R mettiamo P,poi nell'istante esatto in cui approda nell'orbita di raggio r si trova nel punto P'."Nel punto opposto alla luna" vuol dire che il segmento PP' deve passare per il centro della luna(in effetti ci vorrebbe un disegno!).