potenze con base negativa

[gianmaria]

Questo non è un problem solving olimpico ma un mio dubbio sulla matematica, che espongo in forma di esercizio risolto: in campo reale, calcolare $ a=(-1)^{\frac 26} $
1° metodo) $ a=(-1)^{\frac 13}=\sqrt[3]{-1}=-1 $
2° metodo) $ a=\sqrt[6]{(-1)^2}=\sqrt[6] 1=\pm 1 $ (in senso algebrico)
3° metodo) $ a=(\sqrt[6]{-1})^2 $= non esiste
Ammettendo l’attraversamento del campo complesso, anche il 3° metodo dà come soluzioni reali -1, ma il secondo metodo non cambia. E allora? E' obbligatoria la semplificazione, o $ a $ non è definito?

[Marco]

Ciao. La seconda che hai detto: non è ben definito.

Anche passando dal piano complesso, la notazione
$ $(-1)^{2/6} $
resta ambigua.

Normalmente si parla di "radici [quadrate, terze, n-esime] dell'unità", intendendole in senso algebrico (l'insieme delle soluzioni di $ x^n-1 $), quindi la tua espressione potrebbe essere interpretata come le radici terze di -1 (che è equivalente alle radici seste di -1, elevate al quadrato).

Con questa interpretazione (1° e 3° metodo), la risposta è:
$ $-1, \qquad \frac{1-\sqrt{-3}}{2}}, \qquad \frac{1+\sqrt{-3}}{2}} $.

Se invece interpreti come le radici seste del quadrato di -1 (2° metodo), allora la risposta cambia: oltre alle tre radici scritte sopra, ci sono anche le stesse cambiate di segno:
$ $1, \qquad \frac{-1-\sqrt{-3}}{2}}, \qquad \frac{-1+\sqrt{-3}}{2}} $.

Ciao. M.

[gianmaria]

La tua risposta che il risultato non è ben definito non mi convince interamente, almeno in assenza di ulteriori precisazioni: deve esserci una definizione, altrimenti ci metterebbe in difficoltà il semplice $ (-2)^3 $ in cui basta porre 3= $ \frac 62 $e applicare il secondo metodo.
Una possibile risposta mi è stata suggerita dal tuo ampliamento al campo complesso, in cui l’elevazione a $ \frac{kp}{kq} $ (con k, p, q interi non nulli e p, q primi fra loro) genera le ragionevoli q soluzioni se prima si calcola la radice e poi la potenza, mentre ne genera kq se l’ordine delle operazioni è invertito. Quindi proporrei che il calcolo di potenze con esponente frazionario venga definito dicendo che si deve calcolare prima la radice, eventualmente complessa, e poi la potenza; si può aggiungere che l’ordine delle operazioni è indifferente nel caso di frazioni ridotte ai minimi termini o quando ci si limita ai reali positivi.
Questo è però solo il parere di una persona poco competente: lo trovi accettabile? O ci sono obiezioni di qualche tipo? Se sì, come risolvere il problema?

[Sisifo]

Per quello che ne so io, la potenza $ a^x $ è definita in ambito complesso com $ e^{xlna} $Credo che per il logaritmo si prenda il valore di modulo più piccolo ma non sono sicuro...

[Marco]

La tua risposta che il risultato non è ben definito non mi convince interamente, almeno in assenza di ulteriori precisazioni: deve esserci una definizione [...] Quindi proporrei che il calcolo di potenze con esponente frazionario venga definito dicendo che [...]

Beh, il fatto stesso che tu debba aggiungere alla definizione di $ a $ una tale precisazione, ti dovrebbe segnalare che l'oggetto, cosi' come descritto nel primo post non è ben definito.