PARABOLA OBLIQUA

[Alien]

Direi che sembra geometria .... EG
---------------------------------------------
Come si trova l'equazione di una parabola con asse non parallelo agli assi cartesiani senza ricorrere alle coniche in generale (Apollonio, Dandelin, ecc.)?

Ho provato a ricorrere alla definizione di parabola (luogo geometrico formato da...)fare d(P,F) = d(P,d) e svolgere le formule ma mi viene un gran casino...

Più semplice è ruotando sull'origine una parabola canonica, per poi se mai traslarla, ma vengono valori assoluti che "disturbano".

E in entrambi i casi non riesco a dimostare quando un'equazione del tipo ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0 rappresenti una parabola (b^2-4ac=0,ok ma perchè?)
Con la rotazione ho visto che se b^2-4ac=0 l'equazione si riconduce ad una del tipo y-y(v)=a(x-x(v))^2, ma non trovo altre condizioni e questa non l'ho dimostrata in modo esauriente...scusate la mia ignoranza e AIUTO!!!

[Alien]

Oltre a scriverla qui, x favore, mi mandate la risposta all'indirizzo alien89@email.it ? Grazie ciao

[elianto84]

Prendiamo una parabola con asse parallelo all'asse delle ordinate,
di equazione $ y-ax^2-bx-c=0 $, apertura $ a $, vertice $ \left(-\frac{b}{2a}; c-\frac{b^2}{4a^2}\right) $
fuoco $ \left( -\frac{b}{2a}; c+\frac{a}{4}-\frac{b^2}{4a^2}\right) $, asse $ 2ax+b=0 $ e direttrice $ 4ay-4ac-b^2-a^2=0 $
e sottoponiamo il suo grafico ad una rotazione di angolo $ \theta $ attorno all'origine.
I punti della parabola ruotata soddisferanno l'equazione
$ Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0 $ dove

$ A=\lambda a \cos^2\theta $
$ B=2\lambda a \cos\theta\sin\theta $
$ C=\lambda a \sin^2\theta $
$ D=\lambda (\sin\theta+b\cos\theta) $
$ E=\lambda (b\sin\theta-\cos\theta) $
$ F=\lambda c $

a questo punto balzano agli occhi alcuni particolari

$ B^2-4AC=0 $
$ \theta=\arctan\sqrt\frac{C}{A} $
$ \lambda a = A+C $
$ \lambda b = D\cos\theta + E\sin\theta = D\sqrt\frac{A}{A+C} + E\sqrt\frac{C}{A+C} $
$ \lambda = D\sin\theta - E\cos\theta = D\sqrt\frac{C}{A+C} - E\sqrt\frac{A}{A+C} $

da cui è facile dedurre

$ \displaystyle a=\frac{(A+C)^{3/2}}{D\sqrt C - E\sqrt A} $
$ \displaystyle b=\frac{D\sqrt A + E\sqrt C}{D\sqrt C - E\sqrt A} $
$ \displaystyle c=\frac{F\sqrt{A+C}}{D\sqrt C - E\sqrt A} $

Affinchè una curva del tipo $ Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0 $ sia una
parabola di asse arbitrario è necessario che si abbia $ B^2-4AC=0 $
per i conti appena svolti, ed è sufficiente che essa, sottoposta ad una rotazione
attorno all'origine di angolo $ -\arctan\sqrt\frac{C}{A} $, passi in forma
"canonica" $ y=ax^2+bx+c $, ovvero che la sostituizione

$ \displaystyle x=\sqrt\frac{A}{A+C}\hat{x}+\sqrt\frac{C}{A+C}\hat{y} $
$ \displaystyle y=-\sqrt\frac{C}{A+C}\hat{x}+\sqrt\frac{A}{A+C}\hat{y} $

"uccida" i termini in $ \hat{x}\hat{y} $ e $ \hat{y}^2 $. A meno di un'innocua dilatazione
possiamo adoperare la sostituzione alternativa

$ x=\sqrt A \hat{x} + \sqrt C \hat{y} $
$ y=-\sqrt C \hat{x} + \sqrt A \hat{y} $

e tradurre il nostro sterminio nelle due condizioni

1. $ 2\sqrt{AC}(A-C)+B(A-C)=0 $
2. $ 2AC+B\sqrt{AC}=0 $

che però sono automaticamente implicate da $ B^2=4AC $,
che a questo punto si rivela condizione sia necessaria che sufficiente.

[Alien]

che cos'è quella specie di lambda?