limite di potenze

[goedelgauss]

Detto Q(n) il numero di potenze di 2 minori-uguali di $ 2^n $ tali che la loro prima cifra sia 7 (es. 16 ha per prima cifra 1);calcolare:

il limite di Q(n) per n tendente all'infinito.(non ne sono sicuro , ma credo che sia finito)


(Già che ci siete ,potreste scrivere come si scrive in LATEX il limite di...per x tendente a ...)

[EvaristeG]

Codice: Seleziona tutto

\lim_{x\to x_0} f(x)

rende
$ \lim_{x\to x_0} f(x) $
mentre

Codice: Seleziona tutto

\displaystyle{\lim_{x\to x_0} f(x)}

rende
$ \displaystyle{\lim_{x\to x_0} f(x)} $

[Marco]

Detto Q(n) il numero di potenze di 2 minori-uguali di $ 2^n $ tali che la loro prima cifra sia 7 [...];calcolare: il limite di Q(n) per n tendente all'infinito.(non ne sono sicuro , ma credo che sia finito)

No. E' infinito. Se fosse finito, allora $ \log_{10}2 $ risulterebbe essere razionale, cosa che non è.

Il seguente problema è risolubile con la matematica olimpica elementare:

Sapendo che $ \log_{10}2 $ è irrazionale, dimostrare che esistono infinite potenze di 2 che iniziano per 7.

Il fatto che $ \log_{10}2 $ sia irrazionale (di più: trascendente) non è affatto ovvio da dimostrare ed è un caso del Teorema di [credo] Lindemann-Weierstrass.

EDIT: l'ultima cosa non è esatta. La trascendenza è effettivamente un risultato tosto. L'irrazionalità si fa con molto meno e basta la fattorizzazione unica degli interi. Quindi, a ben guardare, questo problema è olimpico a tutti gli effetti...

[Iron_Man]

No è infinito. Se fosse finito, allora $ \log_{10}2 $ risulterebbe essere razionale

Potrei umilmente chiedere perchè?

[EvaristeG]

Puoi benissimo, tant'è che marco l'ha proposto come esercizio, dicendo che è risolubile con la matematica olimpica elementare, quindi magari prima di renderti umile, prova a farlo.

[HumanTorch]

forse si chiedeva di calcolare qual è $ \displaystyle\lim _{h\to \infty} \frac{Q(n)}{n} $...per il quesito di Marco: se $ 2^h-7\cdot 10^{\log_{10}2^h}=2^h-7\cdot 10^{h\cdot \log_{10} 2} $ e poniamo $ \log_{10} 2=c $. Quindi$ 2^h-7\cdot 10^{hc}<10^{hc-1} $ e dividendo il tutto per $ \frac{2^h}{10} $ e prendendo i vari logaritmi dei due membri (se non ho errato i calcoli)...oppure, meno calcolosamente, pigeonhole?

[HumanTorch]

aggiungo che si potrebbe tentare una soluzione per assurdo, sfruttando moltiplicazioni, riporti e valori particolari della cifra finale di 2_nma prevedo troppi contazzi senza qualche colpo d'occhio accurato...vedrò dopo

[Marco]

oppure, meno calcolosamente, pigeonhole?

...mmmm... Boh? prova a mettere insieme uno sketch di soluzione e vediamo se sta in piedi.

Io lo affronterei con un lemmino utile (una riformulazione del quale, b.t.w., fu un esercizio di ammissione in S.N.S., per quelli a cui interessa...):

Lemma:Sia x un numero reale. Dimostrare che x è irrazionale sse fissato un intervallo I a piacere contenuto in [0,1], è possibile trovare infiniti naturali n t.c. {nx} [la parte frazionaria di x] è contenuta in I.

Chi devono essere x e I per applicare questo lemma al problema incriminato?

[goedelgauss]

Infatti non avevo detto tutto :
Detto Q(n) il numero di potenze di 2 minori-uguali di $ 2^n $ tali che la loro prima cifra sia 7 e F(n) lo stesso con 8 al posto di 7!( )

Calcolare $ \displaystyle{\lim_{n\to \infty}Q(n)/F(n)} $

[Marco]

...direi...
$ $\frac{\log{\frac{8}{7}}}{\log{\frac{9}{8}}} $...

[HumanTorch]

forse si chiedeva di calcolare qual è $ \displaystyle\lim _{h\to \infty} \frac{Q(n)}{n} $...per il quesito di Marco: se $ 2^h-7\cdot 10^{\log_{10}2^h}=2^h-7\cdot 10^{h\cdot \log_{10} 2} $ e poniamo $ \log_{10} 2=c $. Quindi$ 2^h-7\cdot 10^{hc}<10^{hc-1} $ e dividendo il tutto per $ \frac{2^h}{10} $ e prendendo i vari logaritmi dei due membri (se non ho errato i calcoli)...oppure, meno calcolosamente, pigeonhole?

ok, non so cosa ho scritto, ma si dovrebbe giungere a $ hc-\lfloor hc\rfloor=\{hc\} $, non so se centri qualcosa con l'excursus di Marco

[goedelgauss]

Marco,come arrivi a Quei due logaritmi?

[Marco]

Mah, andrebbe dimostrato per bene, ma l'idea è che la cifra iniziale in base 10 dipende dalla parte frazionaria del logaritmo (quella che una volta le tavole numeriche chiamavano mantissa?).

[rigore matematico = off]
Se tu hai un numero irrazionale e vedi come si distribuiscono le parti frazionarie dei suoi multipli, grosso modo si distribuiscono "uniformemente" sull' intervallo [0,1].

Ma allora sai che, dato un sottointervallo I di [0,1], la "probabilità" che la parte frazionaria di un multiplo del tuo irrazionale è dato dalla misura di I.
[/rigore]

A quel punto devi solo calcolare le misure giuste. Il resto sono proprietà dei logaritmi e errori di conto.

Ti convince?

[goedelgauss]

No,non riesco a seguirti se non vedo EQUAZIONI.

[Marco]

Allora, siamo d’accordo che un numero naturale n comincia per 7 se e solo se
$ \log_{10} 7 \leqslant \left\{\log_{10} n\right\} < \log_{10} 8 $?

Ok. Ora dimentichiamo che n è intero. Quanto vale la misura dell’intervallo definito da $ \left\{x | \log_{10} 7 \leqslant x < \log_{10} 8\right\} $ ? Vale $ $ \log_{10} 8 -\log_{10} 7 = \log_{10} \frac 8 7 $. Fin qui ok?

Analogamente se si cambia la cifra 7 con 8: il risultato finale viene $ $\log_{10} \frac 9 8 $.

Fai per il momento un atto di fede e credimi quando ti dico che la “probabilità” che un multiplo di x cada in un intervallo contenuto in [0,1] è data dalla misura dell’intervallo. Allora il rapporto tra la “probabilità” con la cifra 7 e quelle con la cifra 8 è

$ $ \frac{ \log_{10} \frac 8 7} {\log_{10} \frac 9 8} = \frac{ \log \frac 8 7} {\log \frac 9 8} $.