un tetraedro e il suo baricentro

[enomis_costa88]

Sia ABCD un tetraedro non degenere e sia G il suo baricentro.
Allora è vera la seguente diseguaglianza:

$ |PG| < \frac{1}{4}(|PA|+|PB|+|PC|+|PD|) $
per qualsiasi punto P dello spazio.

Buon lavoro, Simone.

[Boll]

E' sempre vero che $ |x_1|+|x_2|+\dots+|x_n|\ge |x_1+x_2+\dots+x_n| $, basta indurre utilizzando come ipotesi la disugualianza triangolare.

Prendiamo quindi i vettori posizione dei vertici del tetraedro e il vettore posizione di P, avremo che la disuguaglianza da dimostrare è:

$ \displatstyle \left| \overrightarrow{P}-\frac{\overrightarrow{A}+\overrightarrow{B}+\overrightarrow{C}+\overrightarrow{D}}{4}\right| < \frac{1}{4}\left( |\overrightarrow{P}-\overrightarrow{A}|+|\overrightarrow{P}-\overrightarrow{B}|+|\overrightarrow{P}-\overrightarrow{C}|+|\overrightarrow{P}-\overrightarrow{D}|\right) $

Che non è altro che un caso particolare di quella precedente (l'uguaglianza sse A,B,C,D,P fossero collineari, assurdo!)