Un problema classico

[Santana]

Serie infinite, integrali e convergenze sono cose da M.N.E. e non certo da Algebra ... Santana, dai un'occhiata alle regole del forum nel comitato di accoglienza. EG

Per $ |x|< {1} $ trovare un espressione chiusa per

$ \sum_{n=0}^{\infty} x^n \cos nx $

[Leandro]

E si, e' proprio un classico.
La serie e' certamente convergente (e' sufficiente il criterio del rapporto) e
pertanto, detta Sn la somma parziale n-esima ,si ha:
$ \displaystyle S_n=\frac{1-xcosx-x^{n+1}cos[(n+1)x]+x^{n+2}cosnx}{1-2xcosx+x^2} $
A tanto si giunge considerando la serie formata con cosx+isinx e considerando
note proprieta' dei complessi.
Passando al limite e tenendo conto che per ipotesi e' |x|<1,risulta:
$ \displaystyle S=\frac{1-xcosx}{1-2xcosx+x^2} $
Spero di non aver fatto errori.
Leandro

[Santana]

E si, e' proprio un classico.
Leandro

Non ho controllato se sono giusti i calcoli, cmq si risolve come hai detto tu. Vado giu col pesante? Dimostrare il mio seguente teorema (conosciuto come teorema di Santana:D ) per $ |\tau|< {1} $ si ha

$ \[ \frac{1}{\pi }\int\limits_0^\pi {\cosh \left( {2\sqrt \tau \cos x} \right)dx} = \sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{\tau ^n }}{{n!^2 }}} \] $

[Leandro]

Non so se questa sia la sezione adatta per un integrale di tal genere.
Mi sembra di averne visti di questo tipo ma francamente non
lo trovo utile come allenamento per gare olimpiche.
Leandro

[Santana]

Non so se questa sia la sezione adatta per un integrale di tal genere.
Mi sembra di averne visti di questo tipo ma francamente non
lo trovo utile come allenamento per gare olimpiche.
Leandro

Si si, hai ragione, chi vuole mettersi lo risolva altrimenti faccia altro...

[EvaristeG]

Nel caso non te ne fossi accorto, Santana, ho spostato il thread in Matematica Non Elementare, quindi ora non è più fuori luogo.
ripeto l'invito a leggere le regole sull'utilizzo del forum nella sezione del comitato di accoglienza e sottolineo che le sezioni dedicate all'allenamento "olimpico" sono le quattro di Algebra, Combinatoria, Geometria e Teoria dei Numeri, in cui andrebbero postati solo problemi di cui si conosca una soluzione con metodi elementari (=olimpici). Per il resto ci sono Mat non el. e Matematica ricreativa.
Qui magari qualcuno avrà voglia di fare tutti gli sviluppi in serie e le convergenze che servono.

[Santana]

Nel caso non te ne fossi accorto, Santana, ho spostato il thread in Matematica Non Elementare, quindi ora non è più fuori luogo.
ripeto l'invito a leggere le regole sull'utilizzo del forum nella sezione del comitato di accoglienza e sottolineo che le sezioni dedicate all'allenamento "olimpico" sono le quattro di Algebra, Combinatoria, Geometria e Teoria dei Numeri, in cui andrebbero postati solo problemi di cui si conosca una soluzione con metodi elementari (=olimpici). Per il resto ci sono Mat non el. e Matematica ricreativa.
Qui magari qualcuno avrà voglia di fare tutti gli sviluppi in serie e le convergenze che servono.

Benissimo, cmq ho letto le regole, il fatto è che sono un pò stordito...

[elianto84]

Sviluppando il coseno iperbolico in serie di Taylor ed integrando pezzo per pezzo
ci si riduce a calcolare
$ \displaystyle \int_{0}^{\pi}\cos^{2n}x \, dx=\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}\left(\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}\right)^{2n} \, dx $
Alchè tutti i termini dello sviluppo del binomio, una volta integrati, svaniscono,
eccezion fatta per il binomiale centrale. Segue
$ \displaystyle \int_{0}^{\pi}\cos^{2n}x \, dx=\frac{\pi}{4^n} {2n \choose n} $
da cui facilmente il teorema di Santana.

[goedelgauss]

Per il primo problema , non è più fattibile con Furier?

Elianto84,non è poi così facile!

[Santana]

Sviluppando il coseno iperbolico in serie di Taylor ed integrando pezzo per pezzo
ci si riduce a calcolare
$ \displaystyle \int_{0}^{\pi}\cos^{2n}x \, dx=\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}\left(\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}\right)^{2n} \, dx $
Alchè tutti i termini dello sviluppo del binomio, una volta integrati, svaniscono,
eccezion fatta per il binomiale centrale. Segue
$ \displaystyle \int_{0}^{\pi}\cos^{2n}x \, dx=\frac{\pi}{4^n} {2n \choose n} $
da cui facilmente il teorema di Santana.

Esatto,comunque scherzavo con teorema di Santana, ritengo quest'identità interessante a causa dei denominatori ${n!}^2$.

Ciao!