Ciao!
Dopo alcune modifiche ecco il problema definitivo!
1) Sia ABC un triangolo acutangolo, e sia O il suo circocentro. Indichiamo con S il cerchio passante per A , O ,B. Le rette CA e CB incontrano S (oltre che in A e B) in P e Q rispettivamente. Dimostrare che le rette CO e PQ sono perpendicolari.
Due rette perpendicolari
Due rette perpendicolari
Ultima modifica di Piera il 14 feb 2006, 07:27, modificato 2 volte in totale.
1) a^2+b^2+c^2=8R^2 Se a^2+b^2=c^2
si ha 2c^2=8R^2
Quindi:
c^2=4R^2
c=2R
Cosa possibile solo se c=diametro, quindi l'angolo al centro di c è 180, poichè c è un diametro di circonferenza.
Se l'angolo al centro è 180, il corrispettivo angolo alla circonferenza è 90° e quindi il triangolo è rettangolo.
Spero di non aver scritto troppe ca***ate...
Questa è la risposta credo più semplice, ma dovrebbero essercene altre...
si ha 2c^2=8R^2
Quindi:
c^2=4R^2
c=2R
Cosa possibile solo se c=diametro, quindi l'angolo al centro di c è 180, poichè c è un diametro di circonferenza.
Se l'angolo al centro è 180, il corrispettivo angolo alla circonferenza è 90° e quindi il triangolo è rettangolo.
Spero di non aver scritto troppe ca***ate...
Questa è la risposta credo più semplice, ma dovrebbero essercene altre...
Ti chiedo scusa perchè forse ho formulato il testo dell'esercizio in maniera non troppo chiara, senza quindi farti capire quello che era richiesto.
Comunque mi sono reso conto che l'esercizio forse non è particolarmente interessante da un punto di vista geometrico, e per questo ho preferito sostituirlo con un altro.
Ho sostituito anche l'ultimo.
Comunque mi sono reso conto che l'esercizio forse non è particolarmente interessante da un punto di vista geometrico, e per questo ho preferito sostituirlo con un altro.
Ho sostituito anche l'ultimo.
Per essere giusti nei confronti di Alex, rischio un piccolo off-topic.
Alex, la domanda di Piera era articolata in due parti (anche se di nascosto, a causa di quel "se e solo se") : si chiedeva di dimostrare che
1) in ogni triangolo rettangolo vale $ a^2+b^2+c^2=8R^2 $
2) se in un triangolo qualsias vale $ a^2+b^2+c^2=8R^2 $, allora il triangolo è rettangolo.
Nel primo caso devi prendere come sola ipotesi il fatto che il triangolo sia rettangolo e dimostrare la formula riportata.
Nel secondo caso hai come unica ipotesi la formula che lega lati e raggio e devi dedurne che il triangolo è rettangolo.
La questione è carina e, invero, ha un suo perchè geometrico, quindi le apro un thread tutto per lei.
@Piera : lodevole iniziativa, questi problemi di geometria ... solo tre cose (lavoro da mods) :
1) come detto nelle regole del forum (nel Comitato di accoglienza), sarebbe meglio aprire thread diversi per esercizi diversi, anche se so che di solito è un casino ... una scusante potrebbe essere il raggruppare un po' di esercizi sullo stesso tema (triangoli rettangoli o similitudini, o quadrilateri ciclici, o che so io)
2) si dovrebbe tentare di dare titoli significativi ai propri thread (certo nessuno si aspetta che un thread nel subforum di Esercizi per le olimpiadi - Geometria contenga qualcosa di diverso da esercizi di geometria, quindi bisognerebbe specificare) e capisco che non è facile se quel che si propone è una miscellanea
3) Benvenuta, Brava e Continua Così!
Alex, la domanda di Piera era articolata in due parti (anche se di nascosto, a causa di quel "se e solo se") : si chiedeva di dimostrare che
1) in ogni triangolo rettangolo vale $ a^2+b^2+c^2=8R^2 $
2) se in un triangolo qualsias vale $ a^2+b^2+c^2=8R^2 $, allora il triangolo è rettangolo.
Nel primo caso devi prendere come sola ipotesi il fatto che il triangolo sia rettangolo e dimostrare la formula riportata.
Nel secondo caso hai come unica ipotesi la formula che lega lati e raggio e devi dedurne che il triangolo è rettangolo.
La questione è carina e, invero, ha un suo perchè geometrico, quindi le apro un thread tutto per lei.
@Piera : lodevole iniziativa, questi problemi di geometria ... solo tre cose (lavoro da mods) :
1) come detto nelle regole del forum (nel Comitato di accoglienza), sarebbe meglio aprire thread diversi per esercizi diversi, anche se so che di solito è un casino ... una scusante potrebbe essere il raggruppare un po' di esercizi sullo stesso tema (triangoli rettangoli o similitudini, o quadrilateri ciclici, o che so io)
2) si dovrebbe tentare di dare titoli significativi ai propri thread (certo nessuno si aspetta che un thread nel subforum di Esercizi per le olimpiadi - Geometria contenga qualcosa di diverso da esercizi di geometria, quindi bisognerebbe specificare) e capisco che non è facile se quel che si propone è una miscellanea
3) Benvenuta, Brava e Continua Così!
[La figura puo' cambiare a seconda della posizione del vertice C]
Ho l'mpressione che le risposte si siano accavallate.
Comunque risolvo il quesito iniziale del post.
Dalla figura si vede che :
$ \displaystyle APQ=ABQ=\pi-\beta $
e dunque :$ \displaystyle CPR=\pi-(\pi-\beta)=\beta $
Inoltre :$ \displaystyle AOC=2\beta $ e pertanto :$ \displaystyle OAC=OCA=\frac{\pi}{2}-\beta $.
In conclusione:
$ \displaystyle PRC=\pi-(\frac{\pi}{2}-\beta+\beta)=\frac{\pi}{2} $
Leandro