Dire se le seguenti funzioni sono integrabili in senso improprio nell'intervallo (1,+$ \infty $):
1)$ f(x)=\frac{(-1)^{[x]}}{x} $
2)$ f(x)=[M(x)]^{x^2} $
dove $ [x] $ e $ M(x) $ sono le funzioni parte intera e mantissa rispettivamente.
Parte intera e mantissa
Re: Parte intera e mantissa
In quanto al problema n° 2, vedere qui.
Scusarti non penso che serva. Anzi credo che scusarti non sia necessario. Poi fa' come ti pare... 
----------
Problema n° 1: sia $ \{x_n\}_{n \ge 1} $ una qualunque successione numerica reale tale che $ \displaystyle\lim_{n \to +\infty} x_n = +\infty $. Posto allora $ \displaystyle f(x) := \frac{(-1)^{\lfloor x\rfloor}}{x} $, per ogni $ x \in [1, +\infty[ $, vale $ \displaystyle\lim_{n \to +\infty} \int_1^{x_n} f(x) dx =\lim_{n \to +\infty} \int_1^{\lfloor x_n \rfloor} f(x) dx = $ $ \displaystyle = \lim_{n \to +\infty} \sum_{k=1}^{\lfloor x_n \rfloor - 1} (-1)^k \cdot \int_k^{k+1} \frac{dx}{x} $ $ \displaystyle = \sum_{k=1}^{+\infty} (-1)^k \cdot \ln\!\left(1 + \frac{1}{k}\right) $. Ora, la serie ad ultimo membro è convergente (criterio di Leibniz). Di conseguenza è pure convergente l'integrale improprio $ \displaystyle\int_1^{+\infty} f(x) dx $.
----------
Problema n° 1: sia $ \{x_n\}_{n \ge 1} $ una qualunque successione numerica reale tale che $ \displaystyle\lim_{n \to +\infty} x_n = +\infty $. Posto allora $ \displaystyle f(x) := \frac{(-1)^{\lfloor x\rfloor}}{x} $, per ogni $ x \in [1, +\infty[ $, vale $ \displaystyle\lim_{n \to +\infty} \int_1^{x_n} f(x) dx =\lim_{n \to +\infty} \int_1^{\lfloor x_n \rfloor} f(x) dx = $ $ \displaystyle = \lim_{n \to +\infty} \sum_{k=1}^{\lfloor x_n \rfloor - 1} (-1)^k \cdot \int_k^{k+1} \frac{dx}{x} $ $ \displaystyle = \sum_{k=1}^{+\infty} (-1)^k \cdot \ln\!\left(1 + \frac{1}{k}\right) $. Ora, la serie ad ultimo membro è convergente (criterio di Leibniz). Di conseguenza è pure convergente l'integrale improprio $ \displaystyle\int_1^{+\infty} f(x) dx $.