OliForum Matematico

Dire se le seguenti funzioni sono integrabili in senso improprio nell'intervallo (1,+$ \infty $):
1)$ f(x)=\frac{(-1)^{[x]}}{x} $

2)$ f(x)=[M(x)]^{x^2} $

dove $ [x] $ e $ M(x) $ sono le funzioni parte intera e mantissa rispettivamente.

In quanto al problema n° 2, vedere qui.

Mi scuso, non sapevo che l'esercizio fosse già stato proposto nel forum!

Scusarti non penso che serva. Anzi credo che scusarti non sia necessario. Poi fa' come ti pare...

----------

Problema n° 1: sia $ \{x_n\}_{n \ge 1} $ una qualunque successione numerica reale tale che $ \displaystyle\lim_{n \to +\infty} x_n = +\infty $. Posto allora $ \displaystyle f(x) := \frac{(-1)^{\lfloor x\rfloor}}{x} $, per ogni $ x \in [1, +\infty[ $, vale $ \displaystyle\lim_{n \to +\infty} \int_1^{x_n} f(x) dx =\lim_{n \to +\infty} \int_1^{\lfloor x_n \rfloor} f(x) dx = $ $ \displaystyle = \lim_{n \to +\infty} \sum_{k=1}^{\lfloor x_n \rfloor - 1} (-1)^k \cdot \int_k^{k+1} \frac{dx}{x} $ $ \displaystyle = \sum_{k=1}^{+\infty} (-1)^k \cdot \ln\!\left(1 + \frac{1}{k}\right) $. Ora, la serie ad ultimo membro è convergente (criterio di Leibniz). Di conseguenza è pure convergente l'integrale improprio $ \displaystyle\int_1^{+\infty} f(x) dx $.