Rapporti goniometrici irrazionali

[gianmaria]

Questo non è un problema, ma solo una mia curiosità. Non chiedo la dimostrazione (che probabilmente non capirei), ma desidero solo sapere se essa esiste.
In goniometria di solito si pensa che, a parte i pochi casi riguardanti angoli speciali, tutti i numeri ed i loro rapporti siano trascendenti: ma è dimostrato? Pongo una domanda più precisa: esiste una dimostrazione del fatto che il rapporto fra arcsin(3/5) e l'angolo giro non è razionale?

[tuvok]

Per dimostrare che $ \frac{\alpha}{2\pi} $ non è razionale, bisogna far vedere che una rotazione di angolo $ n\alpha $ non può essere mai equivalente a una rotazione di un numero finito di angoli giri. Del resto se quel rapporto è irrazionale deve anche valere $ \sin{\alpha}\not=\sin{n\alpha}\,\,\,\forall n\in Z $.
La dimostrazione completa non la so, ma intanto è un inizio...

[fph]

Se non mi sbaglio il fatto che $ \arcsin 3/5 $ sia irrazionale si fa anche "a mano". Provate a vedere con formule di duplicazione e simili se si riesce a cavar fuori un'espressione esplicita per $ \sin n\alpha $ quando $ \sin \alpha=3/5 $, e vedete se si riesce a dire qualcosa delle frazioni che saltano fuori. Perché si ottenga un multiplo intero dell'angolo giro è necessario che per un qualche $ n $ sia $ \sin n\alpha =1 $...

[gianmaria]

Suppongo che fph volesse scrivere $ \sin n \alpha=0 $ perchè non saprei proprio come giustificare la 1 del secondo membro. Ho provato a seguire il suo suggerimento, concludendo che $ \alpha $ deve corrispondere ad una delle radici complesse di 1: be', è un altro modo di enunciare la stessa tesi.
Comunque, unendo i consigli di fph e di tuvok ad un mio guizzo personale, ho trovato una soluzione a livello di studente e vorrei invitare altri a cercarla: riproporrò il quesito, in forma modificata, nella sezione di geometria e penso di intitolarlo "I seni dei multipli sono diversi". Ringrazio per la collaborazione.