I piccoli balcanici continuano a crescere
I piccoli balcanici continuano a crescere
Sia $ ABC $ un triangolo acutangolo inscritto in una circonferenza $ \gamma $. Si prenda il punto in cui concorrono la tangente alla circonferenza per $ A $ e la retta $ BC $, e lo si chiami $ P $. Sia ora $ M $ il punto medio di $ AP $ e $ R $ l'intersezione ulteriore di $ BM $ e $ \gamma $. Sia invece $ S $ l'ulteriore intersezione fra $ \gamma $ e $ PR $. Provare che le rette $ AP $ e $ CS $ sono parallele.
"Ma devo prendere una n-upla qualsiasi o una n-upla arbitraria?" (Lui)
Per il teorema della tangente e della secante, si ha
$ MA^2=MR\cdotMB $ , da cui, $ MP^2=MR\cdotMB $
quest'ultima si può riscrivere come $ MR:MP=MP:MB $ , dunque $ MPR $ e $ MPB $ sono simili.
dobbiamo quindi dimostrare che
$ \widehat{APS}=\widehat{PSC} $
$ \widehat{PSC}=\widehat{RSC} $ poichè $ R\in PS $
$ \widehat{RSC}=\widehat{RBC} $ poichè angoli alla circonferenza insistenti sullo stesso arco
$ \widehat{RBC}=\widehat{MBP} $
$ \widehat{MBP}=\widehat{MPR} $ poichè triangoli simili.
ma poichè
$ \widehat{MPR}=\widehat{APS} $ e
$ \widehat{PSC}=\widehat{APS} $
allora
$ AP\parallel CS $
$ MA^2=MR\cdotMB $ , da cui, $ MP^2=MR\cdotMB $
quest'ultima si può riscrivere come $ MR:MP=MP:MB $ , dunque $ MPR $ e $ MPB $ sono simili.
dobbiamo quindi dimostrare che
$ \widehat{APS}=\widehat{PSC} $
$ \widehat{PSC}=\widehat{RSC} $ poichè $ R\in PS $
$ \widehat{RSC}=\widehat{RBC} $ poichè angoli alla circonferenza insistenti sullo stesso arco
$ \widehat{RBC}=\widehat{MBP} $
$ \widehat{MBP}=\widehat{MPR} $ poichè triangoli simili.
ma poichè
$ \widehat{MPR}=\widehat{APS} $ e
$ \widehat{PSC}=\widehat{APS} $
allora
$ AP\parallel CS $