Sempre per gli amanti di Hojoo Lee

[post233]

Sempre dalla dispensa di Hojoo Lee (mi pare nessuno l'abbia ancora postata, in caso contrario mi scuso): per $ a,b,c>0 $ e $ abc=1 $ dimostrare che

$ \displaystyle \frac{1+ab^2}{c^3}+\displaystyle \frac{1+bc^2}{a^3}+\displaystyle \frac{1+ca^2}{b^3} \geq \displaystyle \frac{18}{a^3+b^3+c^3} $

[Leandro]

Faccio alcune premesse.
a)
Se p,q,r>0 si ha:
$ \displaystyle \frac{1}{p}+\frac{1}{q}+\frac{1}{r} \geq \frac{3}{\sqrt[3]{pqr}}\geq \frac{3}{\frac{p+q+r}{3}}=\frac{9}{p+q+r}} $
b)
Se p,q,r>0 e pqr=1 si ha:
$ \displaystyle p^3+q^3+r^3 \geq 3\sqrt[3]{p^3q^3r^3}=3=\frac{9}{3} $
da cui :
$ \displaystyle 3\geq \frac{9}{p^3+q^3+r^3} $
Tornando alla disequaglianza iniziale risulta:
$ \displaystyle LHS=\left(\frac{1}{c^3}+\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}\right)+\left(\frac{ab^2}{c^3}+\frac{bc^2}{a^3}+\frac{ca^2}{b^3}\right) $
da cui per quanto premesso in (a):
$ \displaystyle LHS \geq \frac{9}{a^3+b^3+c^3}+3\sqrt[3]{\frac{a^3b^3c^3}{a^3b^3c^3}}=\frac{9}{a^3+b^3+c^3}+3 $
ovvero per la (b):
$ \displaystyle LHS\geq \frac{9}{a^3+b^3+c^3}+\frac{9}{a^3+b^3+c^3}=\frac{18}{a^3+b^3+c^3} $
Leandro

[jim]

riscriviamo come
$ \displaystyle(a^3+b^3+c^3)\left[\frac{1+ab^2}{c^3}+\frac{1+bc^2}{a^3}+\frac{1+ca^2}{b^3}\right]\geq18 $
$ abc=1 $ per hip. quindi $ (abc)^3=a^3b^3c^3=1 $
moltiplicando $ a^3b^3c^3 $ alla parentesi quadra, distribuendo agli addendi e semplificando si ottiene
$ \displaystyle(a^3+b^3+c^3)[a^3b^3(1+ab^2)+b^3c^3(1+bc^2)+a^3c^3(1+ca^2)]\geq18 $
svolgendo i calcoli
$ \displaystyle(a^3+b^3+c^3)(a^4b^5+b^4c^5+c^4a^5+a^3b^3+b^3c^3+a^3c^3)\geq3\cdot6 $
che è vera per $ AM-GM $

[post233]

Perfetto, ok ad entrambe. Scrivo anche la mia, anche se le idee sono fondamentalmente le stesse:
Banalmente, $ ab^2=\displaystyle \frac{b}{c} $.
Inoltre, per $ G.M.-C.M. $, $ \sqrt[3]{\displaystyle \frac{a^3+b^3+c^3}{3}} \geq \sqrt[3]{abc} $ e dunque $ a^3+b^3+c^3 \geq 3 $ e $ RHS \leq 6 $

pertanto la tesi diventa vera se dimostro $ \displaystyle \frac{LHS}{3} \geq 2 $.

Per $ A.M.-G.M. $, $ \displaystyle \frac{LHS}{3} \geq \sqrt[3]{\displaystyle \frac{\left(1+\displaystyle \frac{b}{c}\right)\left(1+\displaystyle \frac{c}{a}\right)\left(1+\displaystyle \frac{a}{b}\right)}{a^3b^3c^3}}= $$ \sqrt[3]{\left(1+\displaystyle \frac{b}{c}\right)\left(1+\displaystyle \frac{c}{a}\right)\left(1+\displaystyle \frac{a}{b}\right)} \geq 1*1*1+\sqrt[3]{\displaystyle \frac{b}{c}*\displaystyle \frac{c}{a}*\displaystyle \frac{a}{b}}=2 $ per Holder, da cui la tesi.