equazioni goniometriche lineari simmetriche

[fioweb]

guardando tra gli esercizi del libro mi sono imbattuto in un'equazione goniometrica simmetrica e lineare in seno e coseno fatta così:

sen(x)+ cos(x)+2 sen(x) cos(x) = 1

Come si risolvono, senza usare le formule parametriche (che come si sa sono molto "pese") e senza mettere a sistema con la solita seno alla seconda + coseno alla seconda uguale a 1?

Chiedendo in giro mi hanno detto di sostituire a x 45+z e infatti così tutto funziona, ma nessuno è riuscito a darmi una motivazione.
Ma allora la domanda è questa: come l'hanno trovata questa regola?
Perchè funziona?
E soprattutto, sono questi 3 gli unici modi in cui risolverla questa equazione?
Grazie
Fiorenzo da Casalmaggiore
P.S
Spero di avere azzeccato il thread del forum giusto...

[evans]

Come hanno trovato quel metodo credo sempicemente con l'intuito(alla fine si tratta di un metodo standard di risoluzione) come ogni altro risultato nella matematica:D . Ovviamente il tutto è giocato sul fatto che i valori del seno e coseno a 45° coincidono(scusa se è poco) e questo con l'aiuto della simmetria ti aiuta molto semplificandoti la vita!

PS questa è solo una mia opinione (la matematica è anche opinione?)

[HumanTorch]

Per l' equazione simmetrica nei termini di primo grado abbiamo$ c(\sin x+\cos x) $ che è scomponibile palesemente tramite le formule di addizione e differenza.

Il valore di 45° è quello per cui le equazioni di somma e differenza sono simmetriche (quando il profe parlò per la prima volta di equazioni goniometriche lineari simmetriche stavo per spararla automaticamente dicendo che 45° è soluzione , lo ammetto)

Vedendo le due funzioni composte linearmente è immediato cercare di ricondursi alle formule di addizione e sottrazione, se le si conoscono

Se preferisci, puoi applicare le formule di werner al prodotto, e qua noti che avendo $ \sin x\cdit \cos x $ puoi scomporlo mettendo al posto di $ \cos x=\sin (90°-x) $

[Ani-sama]

Uhm....

vediamo un po'

$ \sin x +\cos x +2\sin x \cos x = 1 $
$ \sin x +\cos x +2\sin x \cos x = \sin^2 x + \cos^2 x $
$ \sin x +\cos x = \sin^2 x + \cos^2 x - 2\sin x \cos x $
$ \sin x +\cos x = {(\sin x - \cos x)}^2 $

Adesso poniamo $ \cos x = \sin (90-x) $, ottenendo:

$ \sin x +\sin (90-x) = {(\sin (90-x) -\sin x)}^2 $

Si possono dunque applicare le formule di prostaferesi, da tutte e due le parti; si otterrà, infine:

$ \sqrt{2}\cos (45-x) = 2\sin^2 (45-x) $, da cui, sostituendo $ 2\sin^2 (45-x) = 2-2\cos^2 (45-x) $, si perviene a tale equazione:

$ 2\cos^2 (45-x) + \sqrt{2}\cos (45-x) -2=0 $, agilmente risolvibile con la sostituzione di variabile, del tipo $ t=\cos (45-x) $...


Se non ho fatto errori/cazzate... dovrebbe essere giusto...

[fioweb]

...Eh già, penso proprio anch'io che quel "qualcuno", imbattendosi in parecchie di queste equazioni, ha visto che con il metodo di Ani-sama si otteneva sempre un "sen 45+x o cos 45+x e allora ha dedotto la regola per ogni equazione di questo tipo...comunque è geniale eh come metodo?

[EvaristeG]

Osservazione abbastanza immediata è questa : se tu hai un'espressione simmetrica, vuol dire che scambiando seno e coseno non cambia.
Ora, basta osservare che $ \sin(45+x)=\cos(45-x)\quad\cos(45+x)=\sin(45-x) $, da cui abbiamo che se un certo $ \alpha=45+x $ è soluzione, allora lo è anche $ \beta=45-x $ in quanto cambiando segno alla x si scambiano seni e coseni ma questo non cambia l'equaizone che è simmetrica.
Questo giustifica il cercare soluzioni della forma 45+x, in quanto si sa che così si dimezzano le soluzioni da cercare : saranno tutte del tipo $ \pm x_i $.