Frazioni infingarde

[post233]

Trovare tutti gli interi positivi $ n $ per i quali esistono due interi positivi $ a,b $ tali che $ n=\displaystyle \frac{a}{b}+\displaystyle \frac{a+1}{b+1} $.

[darkcrystal]

Buon vecchio minimo comune multiplo...
$ \frac{2ab+a+b}{b(b+1)} \Rightarrow b | 2ab+a+b \Rightarrow b|a \Rightarrow \frac{a}{b} $ è intero, quindi anche $ \frac{a+1}{b+1} $ è intero.
$ a+1\equiv 0 (\mod b+1) \Rightarrow a \equiv b (\mod b+1) $
$ a=b+k(b+1) $ per qualche k.
$ \frac{b+k(b+1)}{b}+\frac{(b+1)+k(b+1)}{b+1}=1+k+\frac{k}{b}+k+1=2k+2+\frac{k}{b} $
Ora sostituendo valori "appropriati" si ottiene
1) $ b=k=c \Rightarrow 2c+3 \Rightarrow 2(c+1)+1 $ Ossia tutti i dispari >3
2) $ k=\frac{d-1}{2}c, b=\frac{d-1}{2} \Rightarrow (d-1)c+2+c = dc+2 $
dove d è un dispari >1.
Perciò dc+2 può assumere tutti i valori pari, tranne quelli della forma $ 2^k+2 $.
Lo so, mancano delle parti... prima o poi lo finirò
Ciao!
Davide

[post233]

OK! (e, ovviamente, neanche $ n=1 $ è possibile)

[darkcrystal]

Per concludere la parte lasciata in sospeso...
$ 2^l+2 $ non si può esprimere nella forma $ 2k+2+\frac{k}{b} $.
E' facile facile, cmq, giusto per finire...
Allora:
$ 2^l+2=2k+2+\frac{k}{b} $
$ 2^l=2k+\frac{k}{b} $
k/b è intero, quindi k=fb
$ 2^l=2fb+f=f(2b+1) $
Ora, sia f che 2b+1 devono dividere la potenza di due. 2b+1 è dispari: l'unico dispari che divida una potenza di 2 è 1. Quindi b=0, non accettabile in quanto b era al nostro denominatore.
Ciao!