Aiuto con Derivate

[luca88]

Ciao a tutti!!

Avrei un paio di derivate che non riesco a calcolare correttamente!!

Le due funzioni:

$ y_1=\log_{\cos{x}}{\sin{x}} \qquad y_2=\log_x{\sin{x}} $

Il testo dà come risultati:

$ y'_1=\frac{1}{\log^2{cos{x}}}\{\cot{x}\log{\cos{x}}+\tan{x}\log{\sin x}\} $

$ y'_2=\frac{x\cot x \log x-\log{\sin x}}{x \log^2 x} $

ma non riesco ad ottenere nulla di simile!!

Potete aiutarmi con i passaggi??

Grazie!

[ma_go]

hm.. non credo vi abbiamo insegnato le regole per derivare $ \log_x f $, quindi ti servirebbe eliminare quella brutta cosa a base del logaritmo..
e come si fa in questi casi? beh: $ \displaystyle\log_c a = \frac{\log_b a}{\log_b c} $ (se non erro), quindi ti sei ridotto (con opportune scelte di $ a,b,c $) ad una derivata di un quoziente, che dovresti saper fare

[luca88]

Ok, per esempio prendo qualcosa di più facile.

$ y=\log_x 5 $

Il testo dice:

$ y'=-\frac{\log 5}{x\log^2 x} $

Io dico:

$ y=\log_x 5=\frac{\log 5}{\log x} $

Da qui applico la regola per il quoziente ma non viene comunque. Come è possibile??

[EvaristeG]

$ \displaystyle{\left(\frac{1}{g}\right)'=-\frac{g'}{g^2}} $
quindi, se poni $ g(x)=\log x $, ottieni
$ \displaystyle{\left(\frac{1}{\log x}\right)'=-\frac{1/x}{\log^2x}=\frac{-1}{x\log^2x}} $
ora ti basta moltiplicare per $ \log 5 $ (che è un fattore costante e quindi non ci importa nella derivata), per ottenere
$ y'=\frac{-\log 5}{x\log^2x} $ come dice il libro.

[luca88]

Grazie mille Eva questa la ho capita (me misero che calcolavo $ y=\log 5\longrightarrow y'=\frac{1}{5} $ ma lasciamo perdere), potresti per favore aiutarmi con una di quelle sopra? Penso funzionino similmente.

Grazie ancora.

[fur3770]

le trasformi con la regola dei logaritmi che ti ha scritto mago e applichi la regola di derivazione del quoziente

[fur3770]

$ y_1=\log_{\cos{x}}{\sin{x}}= \frac{\log sinx}{\log cosx} $ ecc..