dubbio sui gruppi

[Martino]

Studiando teoria di Galois, mi sono arenato su una faccenducola (chiamiamolo dubbio), è una domanda che mi sono posto quindi ancora non ho idea di quale sia la risposta, è che dai miei appunti sembra (ripeto, sembra: potrei averli presi male) una cosa scontata:

è vero che ogni gruppo abeliano finito è prodotto diretto di gruppi ciclici?

[EvaristeG]

Sì, è vero e si chiama teorema di struttura dei gruppi abeliani (finiti, se vuoi).
Penso che la dimostrazione si trovi su un qualunque testo di algebra decente (la frase sarà scontata ma "Penso che sul Lang ci sia...").

[ma_go]

giusto per toglierci i dubbi... è vero in generale? cioè, è vero per tutti i gruppi abeliani o solo per quelli finiti? sinceramente, sarei abbastanza sorpreso se Q fosse prodotto di gruppi ciclici...

[Martino]

Accidenti, teorema "di struttura"... mi sono perso qualcosa di importante. Ho trovato la dimostrazione, grazie. Le darò un'occhiata. Il teorema riguarda gruppi abeliani finitamente generati. Ora, non ricordo se finitamente generato implica finito, anzi non ricordo nemmeno cosa significhi finitamente generato

Ciao

[EvaristeG]

Beh, ovviamente tolta la parte di torsione, rimangono taaaante copie di Z in somma diretta.

[Martino]

Andando più nel particolare, la domanda è questa:

Mi si vuole far credere che ogni gruppo risolubile finito abbia una serie finita a quozienti ciclici.
Ovvero che un tale $ G $ ammetta una catena di sottogruppi $ G=H_0 \triangleright H_1 \triangleright H_2 \triangleright ... \triangleright H_n=\{1_G\} $ con $ H_i / H_{i+1} $ ciclico per ogni $ i=0,...,n-1 $.

Quello che so io è questo:

il sottogruppo derivato di un gruppo $ G $ è per definizione $ G^{(1)}:=<\{[a,b]\ |\ a,b \in G\}> $, ove $ [a,b]:=a^{-1}b^{-1}ab $ si dice commutatore di $ a,\ b $, ovvero è il sottogruppo generato dai commutatori. I derivati successivi si definiscono per induzione. Un gruppo $ G $ si dice risolubile se $ G^{(n)}=\{1_G\}\ \exists n \in \mathbb{N} $.

Un gruppo $ G $ è risolubile se e solo se esiste una serie a quozienti abeliani, cioè una catena di sottogruppi $ G=N_0 \triangleright N_1 \triangleright ... \triangleright N_n=\{1_G\} $ con $ N_i / N_{i+1} $ abeliano per ogni $ i=0,...,n-1 $.

Quindi dato un gruppo risolubile finito esiste una serie a quozienti abeliani, e ogni quoziente è prodotto diretto di gruppi ciclici.
Come faccio da qui a costruire una serie a quozienti ciclici? Cioè una catena di sottogruppi (ognuno normale nel precedente) in cui il quoziente tra due sottogruppi successivi sia ciclico e tale che esista $ m \in \mathbb{N} $ tale che l'm-esimo sottogruppo della catena sia $ \{1_G\} $?

Grazie a chi possa aiutarmi.

[FrancescoVeneziano]

giusto per toglierci i dubbi... è vero in generale? cioè, è vero per tutti i gruppi abeliani o solo per quelli finiti? sinceramente, sarei abbastanza sorpreso se Q fosse prodotto di gruppi ciclici...

E' vero per quelli finitamente generati, che sono somma diretta di un po' di Z ed un po' di Z/nZ.
La stessa dimostrazione funziona come teorema di struttura per moduli finitamente generati su anelli ad ideali principali.
Se invece il gruppo non è finitamente generato, non è vero.
Prendi Q, ad esempio, supponi che sia somma diretta di gruppi ciclici, e chiama x un generatore di uno di essi; x/2 è un numero razionale il cui doppio è uguale ad x, che è impossibile perché x è un generatore.

[Marco]

Ora, non ricordo se finitamente generato implica finito

No. Controesempio: Z è finitamente generato da 1.

non ricordo nemmeno cosa significhi finitamente generato

Che è generato da un numero finito di generatori.