Dato un primo $ p>2 $, determinare il numero di elementi del sottoinsieme di $ Z_p $:
$ \{x^2 : x \in Z_p \}\cap \{y^2+1 : y \in Z_p \} $,
dove $ Z_p $ indica gli interi mod p.
Ciao!
Quanti elementi ci sono?
-
mattilgale
- Messaggi: 372
- Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
- Località: Lucca
- Contatta:
ciao
voglio dimostrare la seguente tesi...
indicando con $ C(p) $ la cardinalità cercata
allora
$ C(p)=k $ se p=4k-1
$ C(p)=k+1 $ se p=4k+1
osserviamo che se vale la tesi allora dati due interi $ x,y\in Z_p $
$ x^2-y^2\equiv (x+y)(x-y)\equiv 1 $
pertanto se poniamo
$ x+y=t\ \Rightarrow\ t-\frac{1}{t}\equiv 2y $
quindi abbiamo
$ \displaystyle x^2\equiv y^2+1\equiv \frac{{\left(t-\frac{1}{t}\right)}^2}{4}+1 $
quindi per determinare $ C(p) $ è necessario calcolare quanti valori può assumere $ \displaystyle \left(t-\frac{1}{t}\right)^2 $ con $ t\in Z_p $ e (poiché x^2-y^2=1 allora x+y non può valore zero) $ t\neq 0 $
osserviamo che fissato m e con t incognita
$ \displaystyle {\left(m-\frac{1}{m}\right)}^2={\left(t-\frac{1}{t}\right)}^2 $
$ \displaystyle \Leftrightarrow\ m^2-t^2+\frac{1}{m^2}-\frac{1}{t^2}\equiv 0 $
come è facile vedere questa equazione di quarto grado modulo un primo aha quattro soluzioni
cioè
$ m,\ -m,\ \frac{1}{m},\ -\frac{1}{m} $
pertanto se $ p=4k-1 $ quando t==0 non si hanno soluzioni mentre per t==1 $ \left(t-\frac{1}{t}\right)^2 $ è equivalente solamente al caso t==-1 poiché $ t\equiv \frac{1}{t} $
per i restanti 4(k-1) valori possibili di t si ha che per ogni quadrupletta (+-t, +-1/t) si ha la stessa soluzione quindi
$ C(p)=1+(k-1)=k,\ p=(4k-1)\in \mathbb{P} $
se invece p=4k+1 allora esiste un intero d tale che d^2==-1 (p), pertanto oltre hai tre casi particolari t==0 e t==+-1 c'è da aggiungere il caso t==+-d, poiché in tal caso $ d\equiv -\frac{1}{d} $ quindi esistono solo due valori di t per cui $ \left(t-\frac{1}{t}\right)^2 $ ha lo stesso valore e non 4 come negli altri casi
quindi
$ C(p)=2+(k-1)=k+1, \ \ p=4k+1\in \mathbb{P} $
EDIT: corretti dei reiterati errori di segno
indicando con $ C(p) $ la cardinalità cercata
allora
$ C(p)=k $ se p=4k-1
$ C(p)=k+1 $ se p=4k+1
osserviamo che se vale la tesi allora dati due interi $ x,y\in Z_p $
$ x^2-y^2\equiv (x+y)(x-y)\equiv 1 $
pertanto se poniamo
$ x+y=t\ \Rightarrow\ t-\frac{1}{t}\equiv 2y $
quindi abbiamo
$ \displaystyle x^2\equiv y^2+1\equiv \frac{{\left(t-\frac{1}{t}\right)}^2}{4}+1 $
quindi per determinare $ C(p) $ è necessario calcolare quanti valori può assumere $ \displaystyle \left(t-\frac{1}{t}\right)^2 $ con $ t\in Z_p $ e (poiché x^2-y^2=1 allora x+y non può valore zero) $ t\neq 0 $
osserviamo che fissato m e con t incognita
$ \displaystyle {\left(m-\frac{1}{m}\right)}^2={\left(t-\frac{1}{t}\right)}^2 $
$ \displaystyle \Leftrightarrow\ m^2-t^2+\frac{1}{m^2}-\frac{1}{t^2}\equiv 0 $
come è facile vedere questa equazione di quarto grado modulo un primo aha quattro soluzioni
cioè
$ m,\ -m,\ \frac{1}{m},\ -\frac{1}{m} $
pertanto se $ p=4k-1 $ quando t==0 non si hanno soluzioni mentre per t==1 $ \left(t-\frac{1}{t}\right)^2 $ è equivalente solamente al caso t==-1 poiché $ t\equiv \frac{1}{t} $
per i restanti 4(k-1) valori possibili di t si ha che per ogni quadrupletta (+-t, +-1/t) si ha la stessa soluzione quindi
$ C(p)=1+(k-1)=k,\ p=(4k-1)\in \mathbb{P} $
se invece p=4k+1 allora esiste un intero d tale che d^2==-1 (p), pertanto oltre hai tre casi particolari t==0 e t==+-1 c'è da aggiungere il caso t==+-d, poiché in tal caso $ d\equiv -\frac{1}{d} $ quindi esistono solo due valori di t per cui $ \left(t-\frac{1}{t}\right)^2 $ ha lo stesso valore e non 4 come negli altri casi
quindi
$ C(p)=2+(k-1)=k+1, \ \ p=4k+1\in \mathbb{P} $
EDIT: corretti dei reiterati errori di segno
"la matematica è il linguaggio con cui Dio ha plasmato l'universo"
Galileo Galilei
Galileo Galilei
-
mattilgale
- Messaggi: 372
- Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
- Località: Lucca
- Contatta:
