Dati i numeri naturali x e y ed il primo p, si ha che:
$ p=\frac{x}{4}\sqrt{\frac{2y-x}{2y+x}} $.
Determinare il massimo valore possibile per p.
ps: per favore lasciate il problema ai liceali almeno per qualche giorno... grazie!
Il massimo primo tale che...
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darkcrystal
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Io ci provo... è solo metà soluzione, ma meglio che niente...
Allora:
$ p=\frac{x}{4}\sqrt{\frac{(2y-x)(2y+x)}{(2y+x)^2}} = $
$ =\frac{x}{4(2y+x)}\sqrt{4y^2-x^2} = $
X deve essere pari, se non lo fosse non ci sarebbe nessun termine pari al numeratore e il denominatore non si annullerebbe.
x=2k
$ p=\frac{2k}{4(2y+2k)}\sqrt{4(y^2-k^2)} = $
$ =\frac{k}{2(y+k)}\sqrt{y^2-k^2} $
y e k fanno parte di una terna pitagorica...
PARTE 1 - $ y=t(m^2+n^2), k=(m^2-n^2)t $
$ p=\frac{(m^2-n^2)t}{2t(2m^2)}2mnt = \frac{m^2-n^2}{2m}nt $
O t=(2m)f o t=mf.
1.1 t=2mf
$ p=(m^2-n^2)*n*f $
$ m^2-n^2 \neq 1 \Rightarrow n=f=1, p=(m+1)(m-1) \Rightarrow m=2, p=3 $
1.2 t=mf, n=2g
$ p=\frac{m^2-4g^2}{2m}2fgm = (m^2-4g^2)fg $
Per lo stesso motivo, f=g=1
$ p=m^2-4=(m+2)(m-2), m=3, p=5 $
Ad intuito dovrebbe essere il più grande, ma manca ancora la parte con
$ y=t(m^2+n^2), k=(2mn)t $
Ditemi che esiste una soluzione più bella, per favore!
Ciao!
p.s. Non la prendete per buona!
Allora:
$ p=\frac{x}{4}\sqrt{\frac{(2y-x)(2y+x)}{(2y+x)^2}} = $
$ =\frac{x}{4(2y+x)}\sqrt{4y^2-x^2} = $
X deve essere pari, se non lo fosse non ci sarebbe nessun termine pari al numeratore e il denominatore non si annullerebbe.
x=2k
$ p=\frac{2k}{4(2y+2k)}\sqrt{4(y^2-k^2)} = $
$ =\frac{k}{2(y+k)}\sqrt{y^2-k^2} $
y e k fanno parte di una terna pitagorica...
PARTE 1 - $ y=t(m^2+n^2), k=(m^2-n^2)t $
$ p=\frac{(m^2-n^2)t}{2t(2m^2)}2mnt = \frac{m^2-n^2}{2m}nt $
O t=(2m)f o t=mf.
1.1 t=2mf
$ p=(m^2-n^2)*n*f $
$ m^2-n^2 \neq 1 \Rightarrow n=f=1, p=(m+1)(m-1) \Rightarrow m=2, p=3 $
1.2 t=mf, n=2g
$ p=\frac{m^2-4g^2}{2m}2fgm = (m^2-4g^2)fg $
Per lo stesso motivo, f=g=1
$ p=m^2-4=(m+2)(m-2), m=3, p=5 $
Ad intuito dovrebbe essere il più grande, ma manca ancora la parte con
$ y=t(m^2+n^2), k=(2mn)t $
Ditemi che esiste una soluzione più bella, per favore!
Ciao!
p.s. Non la prendete per buona!
"Solo due cose sono infinite: l'universo e la stupidità dell'uomo, e non sono tanto sicuro della prima" - Einstein
Membro dell'EATO
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provo a postare la mia che sarà sicuramente errata: $ \frac{2y-x}{2y +x} = \frac{m^2}{n^2} $ perchè se così non fosse p non sarebbe un numero naturale. Ora abbiamo $ \frac{x}{4}\frac{m}{n} $ Ora dobbiamo eliminare il denominatore $ 4n | xm $ quindi dobbiamo supporre che almeno o x o m siano pari. Pensiamo al caso m pari abbiamo 2y-x pari, quindi per forza x deve esserlo, ma se x è pari lo è anche 2y+x. Quindi al massimo p = 2. Credo di aver sbagliato in qualche punto, scusate ancora.
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darkcrystal
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non sono sicura di aver capito bene quello che vuoi dire, ma il fatto che un numero sia divisibile per 2 non significa che non è divisibile per una potenza di 2 maggiore, quindi i fattori 2 si riescono a sistemare... tant'è che p=5 è soluzione.snagg ha scritto:provo a postare la mia che sarà sicuramente errata: $ \frac{2y-x}{2y +x} = \frac{m^2}{n^2} $ perchè se così non fosse p non sarebbe un numero naturale. Ora abbiamo $ \frac{x}{4}\frac{m}{n} $ Ora dobbiamo eliminare il denominatore $ 4n | xm $ quindi dobbiamo supporre che almeno o x o m siano pari. Pensiamo al caso m pari abbiamo 2y-x pari, quindi per forza x deve esserlo, ma se x è pari lo è anche 2y+x. Quindi al massimo p = 2. Credo di aver sbagliato in qualche punto, scusate ancora.
@darkcrystal:io l'ho risolto in modo diverso, ho posto d=mcd(x, y) e x=da, y=db e sono andata avanti a fare altre considerazioni...viene piu' breve della tua, bisogna solo analizzare qualche caso a mano, ma mi chiedevo anch'io se c'è una soluzione piu' bella.