Qual'è la definizione (formale il più possibile) di polinomio?
Ci sarà sicuramente qualcosa di più serio che "una somma algebrica di più monomi" o addirittura "un'espressione letterale con solo addizioni e moltiplicazione"...
E' solo una questione di curiosità, non credo che sia per niente utile.
Definizione di polinomio
Per fare i polinomi ti serve un'incognita X e un insieme di coefficienti A. A deve avere delle buone operazioni di somma e prodotto (un anello). è possibile fare polinomi su cose più brutte degli anelli, ma lasciamo perdere...
Un monomio è un prodotto del tipo $ aX^n $, con a in A e n un numero naturale (nota: per ora sono solo dei simboli grafici, dato che non ho ancora detto come si sommano o moltiplicano). Due monomi sono simili se hanno lo stesso esponente (detto grado). Essere simili è una relazione d'equivalenza.
Definisci la somma di monomi simili con $ a X^n + a' X^n = (a+a')X^n $, che è un monomio. Il prodotto di monomi con
$ a X^n \cdot a' X^m = (aa')X^{n+m} $.
Considera ora l'insieme delle somme finite di monomi. (ossia "stringhe" di monomi di lunghezza finita: ricorda che non sappiamo ancora come si sommano i monomi generici).
Dici che due somme $ s $ e $ s' $ sono equivalenti (= rappresentano lo stesso polinomio) se:
- $ s' $ si ottiene da $ s $ aggiungendo/eliminando un monomio con coefficiente 0
- $ s' $ si ottiene da $ s $ permutando gli addendi (= anagrammando la stringa).
- $ s' $ si ottiene da $ s $ sommando due monomi simili (o viceversa scambiando $ s $ e $ s' $)
- $ s' $ si ottiene da $ s $ con un numero finito dei passi precedenti.
essere equivalenti è una relazione di equivalenza, quindi è possibile fare l'insieme quoziente.
Tale quoziente è l'insieme dei polinomi A[X].
La somma tra stringhe è data dalla concatenazione delle somme finite; tale somma rispetta la relazione d'equivalenza (ossia se $ s $ e $ t $ sono equivalenti a rispettivamente $ s' $ e $ t' $, allora $ s+t $ è equivalente a $ s'+t' $), quindi la definizione passa al quoziente e abbiamo la somma dei polinomi. Tale somma è associativa, commutativa, ha il neutro e ha l'inverso).
Il prodotto tra stringhe è dato dalla regola che sappiamo tutti (si estende il prodotto dei monomi per linearità rispetto alla somma). Anche questa definizione rispetta la relazione d'equivalenza, passa al quoziente e definisce il prodotto tra polinomi. Il prodotto è associativo (ma non necessariamente commutativo o con il neutro).
Con questa somma e questo prodotto A[X] risulta essere un anello e un'A-algebra graduata.
Un monomio è un prodotto del tipo $ aX^n $, con a in A e n un numero naturale (nota: per ora sono solo dei simboli grafici, dato che non ho ancora detto come si sommano o moltiplicano). Due monomi sono simili se hanno lo stesso esponente (detto grado). Essere simili è una relazione d'equivalenza.
Definisci la somma di monomi simili con $ a X^n + a' X^n = (a+a')X^n $, che è un monomio. Il prodotto di monomi con
$ a X^n \cdot a' X^m = (aa')X^{n+m} $.
Considera ora l'insieme delle somme finite di monomi. (ossia "stringhe" di monomi di lunghezza finita: ricorda che non sappiamo ancora come si sommano i monomi generici).
Dici che due somme $ s $ e $ s' $ sono equivalenti (= rappresentano lo stesso polinomio) se:
- $ s' $ si ottiene da $ s $ aggiungendo/eliminando un monomio con coefficiente 0
- $ s' $ si ottiene da $ s $ permutando gli addendi (= anagrammando la stringa).
- $ s' $ si ottiene da $ s $ sommando due monomi simili (o viceversa scambiando $ s $ e $ s' $)
- $ s' $ si ottiene da $ s $ con un numero finito dei passi precedenti.
essere equivalenti è una relazione di equivalenza, quindi è possibile fare l'insieme quoziente.
Tale quoziente è l'insieme dei polinomi A[X].
La somma tra stringhe è data dalla concatenazione delle somme finite; tale somma rispetta la relazione d'equivalenza (ossia se $ s $ e $ t $ sono equivalenti a rispettivamente $ s' $ e $ t' $, allora $ s+t $ è equivalente a $ s'+t' $), quindi la definizione passa al quoziente e abbiamo la somma dei polinomi. Tale somma è associativa, commutativa, ha il neutro e ha l'inverso).
Il prodotto tra stringhe è dato dalla regola che sappiamo tutti (si estende il prodotto dei monomi per linearità rispetto alla somma). Anche questa definizione rispetta la relazione d'equivalenza, passa al quoziente e definisce il prodotto tra polinomi. Il prodotto è associativo (ma non necessariamente commutativo o con il neutro).
Con questa somma e questo prodotto A[X] risulta essere un anello e un'A-algebra graduata.
[i:2epswnx1]già ambasciatore ufficiale di RM in Londra[/i:2epswnx1]
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"Well, master, we're in a fix and no mistake."
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"Well, master, we're in a fix and no mistake."
Io, conosco questa definizione:
Se $ A $ è un'anello, allora un polinomio a coefficienti nell'anello $ A $, è una successione definitivamente nulla di elementi di $ A $. Nell'insieme di tutte le successioni di questo tipo si definiscono le operazioni di somma e prodotto:
$ (a_1, a_2, \ldots)+(b_1, b_2, \ldots)=(a_1 + b_1, a_2 + b_2, \ldots) $
$ (a_1, a_2, \ldots)\cdot (b_1, b_2, \ldots)=(c_1, c_2. \ldots) $
dove $ c_n = \sum _{i+j=n} a_i b_j $
Dopodichè si definiscono i monomi di grado $ i $, come le successioni tali che solo l'$ i- $esimo termine è non nullo.
Il monomio $ (0,0,\ldots,a,0,0,\ldors) $ con $ a\neq 0 $ all' $ i- $esimo posto, sarà indicato con $ ax^{i} $ dove $ x^{i} $ è un segnaposto.
Si verifica che ogni polinomio può essere scritto come somma di monomi (la somma prima definita). Inoltre il prodotto dei monomi $ ax^i $ e $ bx^j $ si verifica essere $ abx^{i+j} $.
Infine, se si indica convenzionalmente $ a $ il monomio $ ax^0 $ e $ bx $ il monomio $ bx^1 $ si ottiene l'usuale notazione per i polinomi con le usuali regole di addizione e moltiplicazione.
Se $ A $ è un'anello, allora un polinomio a coefficienti nell'anello $ A $, è una successione definitivamente nulla di elementi di $ A $. Nell'insieme di tutte le successioni di questo tipo si definiscono le operazioni di somma e prodotto:
$ (a_1, a_2, \ldots)+(b_1, b_2, \ldots)=(a_1 + b_1, a_2 + b_2, \ldots) $
$ (a_1, a_2, \ldots)\cdot (b_1, b_2, \ldots)=(c_1, c_2. \ldots) $
dove $ c_n = \sum _{i+j=n} a_i b_j $
Dopodichè si definiscono i monomi di grado $ i $, come le successioni tali che solo l'$ i- $esimo termine è non nullo.
Il monomio $ (0,0,\ldots,a,0,0,\ldors) $ con $ a\neq 0 $ all' $ i- $esimo posto, sarà indicato con $ ax^{i} $ dove $ x^{i} $ è un segnaposto.
Si verifica che ogni polinomio può essere scritto come somma di monomi (la somma prima definita). Inoltre il prodotto dei monomi $ ax^i $ e $ bx^j $ si verifica essere $ abx^{i+j} $.
Infine, se si indica convenzionalmente $ a $ il monomio $ ax^0 $ e $ bx $ il monomio $ bx^1 $ si ottiene l'usuale notazione per i polinomi con le usuali regole di addizione e moltiplicazione.
E' la stessa cosa : Marco ha dato una costruzione dell'anello
$ \displaystyle{\bigoplus_{i\in\mathbb{N}} A} $
tu ne hai data la definizione come insieme delle successioni definitivamente nulle, con la somma e la moltiplicazione per scalare definite elemento per elemento, il prodotto con la solita regola.
$ \displaystyle{\bigoplus_{i\in\mathbb{N}} A} $
tu ne hai data la definizione come insieme delle successioni definitivamente nulle, con la somma e la moltiplicazione per scalare definite elemento per elemento, il prodotto con la solita regola.
Ultima modifica di EvaristeG il 09 mar 2006, 21:00, modificato 1 volta in totale.
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HumanTorch, cosa intendi?
Se vuoi dire a livello puramente simbolico, beh, tutto si riapplica in maniera ovvia : in generale, se hai un monoide $ G $ (un insieme dove è definita un'operazione associativa che abbia un elemento neutro, ma per cui non necessariamente esista un inverso) e un anello $ A $, puoi considerare un insieme $ \{x^g\ |\ g\in G\} $ (dove però non c'è nessun elevamento a potenza vero e proprio, solo apici al posto di pedici), dotarlo dell'operazione $ \cdot : (x^g,x^h)\mapsto x^g\cdot x^h:=x^{g\otimes h} $ (dove $ \otimes $ indica l'operazione rispetto a cui G è monoide) e costruire l'insieme
$ A[G]=\{\sum_{h\in H}a_hx^h\ |\ H\subseteq G, H\textrm{ finito }, a_h\in A\} $
Su di esso poi definirai la somma nel modo ovvio e il prodotto nel modo altrettanto ovvio.
Questa è una generalizzazione dei polinomi : se prendi come monoide i naturali e come anello i reali ti vengono i soliti polinomi. Nel tuo esempio hai considerato come monoide tutto l'insieme dei numeri reali...
Tanto per spararle grosse, si può addirittura scegliere G non commutativo e allora son cavoli amari...
se invece vuoi dare un senso come funzioni da R in R a quelle scritture, incorri nei problemi che ben saprai (la radice quadrata di -1 e così via).
Se infine è solo un problema di nomenclatura, beh, allora la risposta è "no, quelli non sono polinomi."
Se vuoi dire a livello puramente simbolico, beh, tutto si riapplica in maniera ovvia : in generale, se hai un monoide $ G $ (un insieme dove è definita un'operazione associativa che abbia un elemento neutro, ma per cui non necessariamente esista un inverso) e un anello $ A $, puoi considerare un insieme $ \{x^g\ |\ g\in G\} $ (dove però non c'è nessun elevamento a potenza vero e proprio, solo apici al posto di pedici), dotarlo dell'operazione $ \cdot : (x^g,x^h)\mapsto x^g\cdot x^h:=x^{g\otimes h} $ (dove $ \otimes $ indica l'operazione rispetto a cui G è monoide) e costruire l'insieme
$ A[G]=\{\sum_{h\in H}a_hx^h\ |\ H\subseteq G, H\textrm{ finito }, a_h\in A\} $
Su di esso poi definirai la somma nel modo ovvio e il prodotto nel modo altrettanto ovvio.
Questa è una generalizzazione dei polinomi : se prendi come monoide i naturali e come anello i reali ti vengono i soliti polinomi. Nel tuo esempio hai considerato come monoide tutto l'insieme dei numeri reali...
Tanto per spararle grosse, si può addirittura scegliere G non commutativo e allora son cavoli amari...
se invece vuoi dare un senso come funzioni da R in R a quelle scritture, incorri nei problemi che ben saprai (la radice quadrata di -1 e così via).
Se infine è solo un problema di nomenclatura, beh, allora la risposta è "no, quelli non sono polinomi."
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