Funzione reale discontinua
Funzione reale discontinua
Una curiosità: è possibile definire per mezzo di funzioni elementari una funzione reale di variabile reale discontinua in ogni punto?
Guarda... non so se ho ben capito cosa intendi... ma se vuoi una funzione a valori reali che sia in ogni punto discontinua, usando solo le funzioni elementari... boh, posso definirti una roba del tipo:
$ f(x)=\sqrt {\cos x -1} $. I valori di 'sta funzione qua sono limitati a $ \cos x = 1 $, e di conseguenza i punti del suo dominio sono solo $ 2k\pi $... ed è per forza discontinua in ogni punto...
Non so se ho capito...
EDIT:
Come non detto, questa funzione è fatta da punti isolati ed è continua in tutto il suo dominio!
$ f(x)=\sqrt {\cos x -1} $. I valori di 'sta funzione qua sono limitati a $ \cos x = 1 $, e di conseguenza i punti del suo dominio sono solo $ 2k\pi $... ed è per forza discontinua in ogni punto...
Non so se ho capito...
EDIT:
Come non detto, questa funzione è fatta da punti isolati ed è continua in tutto il suo dominio!
Ultima modifica di Ani-sama il 17 mar 2006, 19:42, modificato 1 volta in totale.
...
Non ho ben capito cosa intendi con !"per mezzo di funzioni elementari", quindi la mia potrebbe uscire dalle condizioni; io ho pensato a questa:
$ $$ f(x)= \left\{ \begin{array}{rl} 0 ,\forall x\in Q \\ 1 , \forall x \in (R-Q) \end{array} \right $$ $
Che è discontinua ovunque e ha dominio $ R $
ciao
Edo
$ $$ f(x)= \left\{ \begin{array}{rl} 0 ,\forall x\in Q \\ 1 , \forall x \in (R-Q) \end{array} \right $$ $
Che è discontinua ovunque e ha dominio $ R $
ciao
Edo
Beh anche questo è un bel trucchetto.
Altri modi? Magari definendola allo stesso modo su tutto R?
Con "funzioni elementari" non intendo niente... magari combinando in qualche modo seno, tangente, prodotti, somme, inversi, logaritmi, esponenziali & co. si otteneva qualcosa del genere.
Secondo me, no.
Altri modi? Magari definendola allo stesso modo su tutto R?
Con "funzioni elementari" non intendo niente... magari combinando in qualche modo seno, tangente, prodotti, somme, inversi, logaritmi, esponenziali & co. si otteneva qualcosa del genere.
Secondo me, no.
Beh, proprio elementari no, anche perchè le funzioni continue sono un insieme chiuso per somma, sottrazione, prodotto e composizione, quindi l'unica speranza sta nella divisione, che però non altera la continuità, ma il dominio di definizione della funzione, quindi se tu componi funzioni continue o ci applichi le 4 operazioni elementari, ottieni funzioni che sono continue (magari poi non sono definite più su tutta la retta reale, ma questa è un'altra cosa).
Per quanto riguarda un punto non di accumulazione del dominio di una funzione, lì tale funzione è automaticamente continua, basta considerare una qualunque definizione ben fatta e sarà evidente.
Un'espressione quasi elementare (c'è dentro un doppio limite) di funzione ovunque discontinua è la seguente :
$ $f(x)=\lim_{n\to\infty}\lim_{m\to\infty}\left(\cos(2\pi m!x)\right)^n$ $
Tale funzione è proprio quella di cui si diceva prima, che vale 1 sui razionali e 0 sugli irrazionali.
Per quanto riguarda un punto non di accumulazione del dominio di una funzione, lì tale funzione è automaticamente continua, basta considerare una qualunque definizione ben fatta e sarà evidente.
Un'espressione quasi elementare (c'è dentro un doppio limite) di funzione ovunque discontinua è la seguente :
$ $f(x)=\lim_{n\to\infty}\lim_{m\to\infty}\left(\cos(2\pi m!x)\right)^n$ $
Tale funzione è proprio quella di cui si diceva prima, che vale 1 sui razionali e 0 sugli irrazionali.
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MindFlyer
Veramente questa è continua in ogni punto del dominio... Ripassati le definizioni!!!Ani-sama ha scritto:$ f(x)=\sqrt {\cos x -1} $. I valori di 'sta funzione qua sono limitati a $ \cos x = 1 $, e di conseguenza i punti del suo dominio sono solo $ 2k\pi $... ed è per forza discontinua in ogni punto...
[quote=EvaristeG]Un'espressione quasi elementare (c'è dentro un doppio limite) di funzione ovunque discontinua è la seguente :
$ $f(x)=\lim_{n\to\infty}\lim_{m\to\infty}\left(\cos(2\pi m!x)\right)^n$ $
Tale funzione è proprio quella di cui si diceva prima, che vale 1 sui razionali e 0 sugli irrazionali.[/quote]
Beh è un giochino interessante... puoi spiegare come funziona?
Cosa c'è che che fa separare nettamente gli irrazionali dai razionali?
$ $f(x)=\lim_{n\to\infty}\lim_{m\to\infty}\left(\cos(2\pi m!x)\right)^n$ $
Tale funzione è proprio quella di cui si diceva prima, che vale 1 sui razionali e 0 sugli irrazionali.[/quote]
Beh è un giochino interessante... puoi spiegare come funziona?
Cosa c'è che che fa separare nettamente gli irrazionali dai razionali?
Grazie per la precisazione! Ho riletto e ho capito... perdonatemi l'ignoranzaMindFlyer ha scritto:Veramente questa è continua in ogni punto del dominio... Ripassati le definizioni!!!Ani-sama ha scritto:$ f(x)=\sqrt {\cos x -1} $. I valori di 'sta funzione qua sono limitati a $ \cos x = 1 $, e di conseguenza i punti del suo dominio sono solo $ 2k\pi $... ed è per forza discontinua in ogni punto...
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Beh, innanzitutto bisogna dire che l'ho scritta alla rovescia : non si possono scambiare i due limiti e quindi la funzione corretta è
$ $f(x)=\lim_{m\to\infty}\lim_{n\to\infty}\cos^n(2\pi m!x)$ $
... poi, osserviamo che :
1) se $ x\in\mathbb{Q} $, allora esiste $ m\in\mathbb{N} $ tale che $ m!x\in\mathbb{Z} $ e dunque, per ogni $ m'>m $ (sempre naturale) si ha che $ (m'!)x\in\mathbb{Z} $
2) se $ a\in\mathbb{Z} $, allora $ \cos(2\pi a)=1 $ e dunque anche $ (\cos(2\pi a))^n=1 $ per ogni $ n\in\mathbb{N} $
3) se dunque $ x\in\mathbb{Q},\ \exists\ m\in\mathbb{N} $ t.c. $ \cos(2\pi m'!x)=1 $ per ogni m'>m. Quindi il limite in n non è influente e la funzione vale 1 sui razionali.
4) se invece $ x\not\in\mathbb{Q} $, $ m!x\not\in\mathbb{Z} $ per ogni m, quindi $ \cos(2\pi m!x)\neq \pm1 $ per ogni m; dunque fissato m, il limite su n è limite di k^n con |k|<1, quindi è 0, per ogni m. e dunque la funzione vale 0 sugli irrazionali.
$ $f(x)=\lim_{m\to\infty}\lim_{n\to\infty}\cos^n(2\pi m!x)$ $
... poi, osserviamo che :
1) se $ x\in\mathbb{Q} $, allora esiste $ m\in\mathbb{N} $ tale che $ m!x\in\mathbb{Z} $ e dunque, per ogni $ m'>m $ (sempre naturale) si ha che $ (m'!)x\in\mathbb{Z} $
2) se $ a\in\mathbb{Z} $, allora $ \cos(2\pi a)=1 $ e dunque anche $ (\cos(2\pi a))^n=1 $ per ogni $ n\in\mathbb{N} $
3) se dunque $ x\in\mathbb{Q},\ \exists\ m\in\mathbb{N} $ t.c. $ \cos(2\pi m'!x)=1 $ per ogni m'>m. Quindi il limite in n non è influente e la funzione vale 1 sui razionali.
4) se invece $ x\not\in\mathbb{Q} $, $ m!x\not\in\mathbb{Z} $ per ogni m, quindi $ \cos(2\pi m!x)\neq \pm1 $ per ogni m; dunque fissato m, il limite su n è limite di k^n con |k|<1, quindi è 0, per ogni m. e dunque la funzione vale 0 sugli irrazionali.