evvai con i primi!

[Simo_the_wolf]

Per ogni intero positivo $ n\geq2 $ definiamo $ 2 $ funzioni:
$ p(n) $ che è il più grande primo $ \leq n $;
$ q(n) $ che è il più piccolo primo $ > n $.

Dimostrare che: $ \displaystyle \sum_{k=2}^n \frac 1{p(k)q(k)} < 2 $

[Boll]

Mh, magari ho misinterpretato, ma come lo trovo un primo $ <2 $ ???

[darkcrystal]

$ p(n) $ non ha la disuguaglianza stretta.
Ciao!

[Boll]

E' chiaro che se rimango in un intervallo compreso fra due primi in cui non vi è nessun altro primo la funzione rimane costante, quindi detto $ p_i $ l'$ i $-esimo primo la nostra somma, calcolata fino a $ p_i-1 $ vale

$ \dfrac{p_2-p_1}{p_1p_2}+\dfrac{p_3-p_2}{p_2p_3}+...+\dfrac{p_i-p_{i-1}}{p_ip_{i-1}} $
Telescopizzando allegramente avremo
$ \dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{p_i} $

che oserei dire tenda a $ \dfrac{1}{2} $ quando $ p_i $ va ad $ +\infty $ (quindi anche $ n $ va a $ +\infty $){qui si usa implicitamente il fatto che i primi siano infiniti}. Ciò surclassa la tesi, quindi è sbagliato, dove?

[MindFlyer]

Ciò surclassa la tesi, quindi è sbagliato, dove?

Sono sbagliate ad esempio la prima e l'ultima frase.

[mattilgale]

mi unisco a Boll nel non capire, mi pare che la sua dimostrazione torni...

Siamo sicuri che nona bbia sbagliato simo e quella sommatoria tende proprio ad 1/2?

[moebius]

Pure secondo me era 1/2...