Strade e parabole

[Pigkappa]

Era in una gara a parma di qualche anno fa, ed era l'ultimo problema. Sono arrivato ad un certo punto ma non so andare avanti. Chi vuol farlo da solo non legga cosa ho scritto in fondo.

Un giardino si estende su un quadrato di lato 100 metri, orientato secondo i punti cardinali, ovvero un lato è rivolto a nord, uno a sud, uno ad ovest, uno ad est. È percorso da due strade che seguono un andamento parabolico: il primo passa per i due estremi del lato nord ed ha il vertice nel punto medio del lato sud, il secondo passa per i due estremi del lato est ed ha il vertice nel punto medio del lato ovest.
Determinare l'area del quadrilatero che ha come vertici i quattro punti d'incontro delle due strade.












[Nota: se volete saltare qualche conto ho ricavato già le equazioni delle due parabole. Posto un sistema di assi cartesiani con il centro coincidente col vertice che fa parte sia del lato Ovest sia del lato Sud, e detta la direzione del lato sud l'asse x e quella del lato ovest l'asse y, le equazioni sono:

x=1/25 y² - 4y +100

e

y=1/25 x² - 4x + 100.

Da questo punto non so proseguire, perchè nel tentativo di risolvere questo sistema vado incontro a numeri come 1562500 e non posso utilizzare la calcolatrice.]

[Azarus]

Beh, se noti 1562500 non è esattamente un numero così orribile, dato che, essendo $ 5^{6}\cdot 10^{2} $, è un quadrato.

[HumanTorch]

Dunque, la figura è simmetrica attorno alla bisettrice dell'angolo sud-ovest, quindi trattasi di un deltoide. Credo che i due triangoli congruenti siano rettangoli (non so, forse per rotazione su un vertice dal quadrato, sfruttando le proporzioni che ci fornisce la parabola)

[BMcKmas]

Soluzione completamente analitica, suggerimenti:
1) fai il calcolo in hm (dividi tutto per 100) se ti disturbano i numeri grossi
2) le due parabole diventano:
$ y=4(x-1/2)^2 $
$ x=4(y-1/2)^2 $
3) con semplici sostituzioni ottieni l'equazione risolvente di 4° grado
4) siccome due intersezioni sono sulla diagonale, le trovi mettendo a sistema
$ y=4(x-1/2)^2 $
$ y=x $
5) l'equazione risolvente è $ 4(x-1/2)^2-x=0 $ con zeri: 1 e 1/4
6) dividi il polinomio di 4 grado per il fattore che contiene le due radici trovate $ 4(x-1/2)^2-x $ o se preferisci per i due fattori di primo grado $ (x-1/4) $ e $ (x-1) $
7) ottieni l'equazione di secondo grado per le altre due radici ...

te lo lascio completare

ciao