Franchifis ha scritto:Però mi sfugge il resto della risposta: non capisco il significato di "traccia", e non ho capito se la condizione f''(xx) + f''(yy)>0 è necessaria, come dice Mathworld, oppure no, come dice il mio libro, per avere un minimo, fermo restando H>0 e f''(xx)>0, e perché. Stesso discorso per un massimo.
Beh, la traccia di una matrice quadrata, ossia la somma degli elementi sulla diagonale.
Intanto sono equivalenti:
$ H>0; f_{xx} > 0 $
e
$ H>0; f_{xx} + f_{yy} > 0 $.
Infatti:
$ H = f_{xx} f_{yy} - f_{xy}^2 $,
quindi $ f_{xx} f_{yy} \geqslant H > 0 $ per ipotesi. Quindi $ f_{xx} $ e $ f_{yy} $ sono concordi in segno. []
Per quanto riguarda necessità e sufficienza, devo pescare dai miei ricordi di Analisi II, ormai mill'anni fa, ma dovrebbe essere che condizione sufficiente perché f() abbia un minimo è che abbia gradiente nullo e hessiano definito positivo nel punto. Se gradiente è nullo e hessiano definito negativo, allora è un max, se invece gradiente è nullo e hessiano ha segnatura (1,1) allora è una sella.
Il problema è che non si può dire nulla se l'hessiano ha determinante zero. (è il caso analogo in una variabile in cui la derivata seconda è nulla: occorre guardare ordine e segno della prima derivata superiore non nulla, ma la derivata seconda non ti basta più).
Per quel che riguarda il claim di Mathworld: una matrice simmetrica è definita positiva sse i suoi autovalori (che sappiamo essere reali) sono entrambi positivi. La traccia è la somma degli autovalori e il determinante è il loro prodotto. Se studi i segni degli autovalori e come cambiano i segni di traccia e determinante, vedi che torna.
).