Non capisco questo problema... (cesenatico 1999)

[edriv]

Mi aiutate a capire la soluzione dell'ultimo problema di cesenatico 1999?

Determinare tutte le coppie $ (x,k) $di interi positivi che soddisfano l'equazione
$ 3^k-1=x^3 $
Dimostrare che se n è un intero maggiore di 1 e diverso da 3 non esistono coppie (h,k) di interi positivi che soddisfano l'equazione
$ 3^k-1=x^n $

Per il primo punto ci sono, basta fattorizzare la somma di cubi e viene da se.
Nel secondo punto: per n pari, ci si riconduce ad un quadrato e si analizza i possibili resti modulo 3.
Per n dispari, si scompone in fattori e si ottiene:
$ 3^k=(x+1)(x^{2n+1}-x^{2n}+x^{2n-1}-...-x+1) $
In seguito, nella soluzione provano a dividere x^2n+1.... per (x+1):
$ (x^{2n+1}-x^{2n}+x^{2n-1}-...-x+1)=Q(x)(x+1)+r $
E si ricava facilmente che r è proprio 2n+1.
Poi come si va avanti a logica, per dimostrare che quel prodotto non è unapotenza del 3?

Io non ho capito la soluzione, che dice:

Quindi il massimo comune divisore fra $ (x+1) $ e $ (x^{2n+1}-x^{2n}+x^{2n-1}-...-x+1) $che è una potenza di 3 con esponente positivo, deve dividere anche n, e quindi in particolare 3 deve essere un divisore di n. Ponendo n = 3m; x^m = y, la nostra equazione diventa ... (e ci si riconduce al cubo)

Come si giustifica queste affermazioni?
Io ho fatto questo ragionamento (sbagliato): (ponendo $ (x^{2n+1}-x^{2n}+x^{2n-1}-...-x+1) = P(x) $)
Sappiamo che $ P(x) = 3^a $ e $ x+1 = 3^b $ con a+b = k.

Quindi, se a>=b, P(x) deve essere divisibile per (x+1)!!!
Se a<b, allora P(x)<x+1 che se x >= 2 è impossibile (o almeno credo).

Cosa sbaglio?
Con 2n+1=3,x=2, ottengo P(x)=3 e (x+1)=3, perchè con ruffini il resto della divisione sembra essere 3?
E poi perchè il mio ragionamento è comunque sbagliato?

[gianmaria]

Per chiarezza e precisione, comincio col correggere due erroretti che non influenzano i dubbi finali: in primo luogo, suppongo che, nell’enunciato, “coppie (h,k)” stia per “coppie (n,k)”. Inoltre, posto n = 2m+1, si ha $ x^n+1=(x+1)P(x) $ con $ P(x)=x^{2m}-x^{2m-1}+x^{2m-2} - ... -x+1 $. La tua formula non ha senso, anche perché inizi mettendo il + davanti alle potenze con esponente dispari e il – alle altre, e finisci con i segni scambiati. Mi stupisce trovarla anche nella citazione, ma probabilmente non è letterale.

Per spiegare l’errore del tuo ragionamento, comincio con un esempio fuori da questo problema: tutti sappiamo che $ x^2+1 $ non è divisibile per $ x+1 $ ; se però fosse x=1 la divisibilità ci sarebbe. Questo succede perché il calcolo letterale fornisce le risposte valide per ogni x, senza escludere che per particolari valori di x vi possano essere ulteriori conclusioni. Così avviene in questo problema: tu hai affermato (con punti esclamativi) che P(x) non è divisibile per x+1 ; in generale è vero perché la divisione dà come resto 2m+1 ma diventa falso tutte le volte che x+1 è un divisore di 2m+1 (il caso che citi rientra in questo).

Quanto alla soluzione data, è effettivamente un po’ ermetica; ecco la mia interpretazione.
Come da te notato, deve essere $ P(x)=3^a $ e $ x+1=3^b $ con a+b = k. Da b = 0 ricavo x = 0, contrario all’ipotesi. Da a = 0 ricavo b = k e quindi $ x=3^k-1 $ ; l’equazione data diventa quindi $ x=x^n $ e si verifica facilmente che questo è impossibile o contrario alle ipotesi. Ne consegue che i due fattori sono entrambi divisibili per 3 e deve quindi esserlo anche il resto della loro divisione, che è 2m+1=n. Mi pare che non ci siano altri problemi, anche se non capisco perché scomodare il MCD, quando basta un comun divisore, cioè 3.
Se qualcosa non è chiaro, fammelo sapere.

[ficus2002]

Non c'è bisogno di usare il MCD dei due polinomi, basta usare ruffini. Infatti
$ x^{2m+1}+1=(x+1)(x^{2m}-x^{2m-1}+\cdots-x+1)=(x+1)p(x) $
e
$ p(x)=(x+1)q(x)+p(-1) $
dove
$ p(-1)=n $.
Poichè $ x+1 $ e $ p(x) $ sono multipli di $ 3 $, lo è anche $ n $. Ponendo $ n=3m $ l'equazione diventa $ 3^k-1=(x^m)^3 $ che implica $ x^m=2 $ che non ha soluzioni per $ m>1 $. Quindi $ 3^k-1=(x^n)^3 $ non ha soluzioni.

[edriv]

Perfetto, siete stati molto chiari e ho capito tutto.
Qualche chiarimento mi era necessario per prepararmi un po'.

[edriv]

Altra domanda su un'altra soluzione di un altro problema di algebra.

Cesenatico 2002, problema 4:
Trovare tutti gli n tali che tutte le soluzioni di $ X^3-3X+n=0 $
Se il sistema ha tre radici, la soluzione dice giustamente che sono +2 e -2.

Ma ad esempio con n=-18, l'unica soluzione (come si verifica disegnando il polinomio) è X=3, infatti $ 3^3-3 \cdot 3 -18 = 27-9-18=0 $

Come si spiega questo??

[EvaristeG]

Un'equazione cubica ha sempre tre radici ... tra esse ci possono essere delle radici complesse, ma contano comunque come radici (e come radici non intere).

[edriv]

Accidenti! Come ho fatto a dimenticarle...
Il problema è che in ogni esercizio con i numeri si parla sempre di interi o di reali... quando spunta la parola "polinomio", questa si porta dentro anche i complessi, dovrò ricordarmene.