Veramente quanto alle traiettorie ci sarebbero cose un po' più interessanti che semplici coniche ... per esepmio una "spirale ellittica" (ho scritto un programmetto scemo che mi disegni la traiettoria basandosi sulle equazioni differenziali per r e teta) se il corpo che si muove non ha una velocità angolare abbastanza grande, finisce per impattare su quello che sta al centro, tale comportamento è un po' più complesso da descrivere in maniera analitica...
Ora vediamo di mettere un po' di passaggi per tirare fuori t(r):
$ t-t_0 = \int_{r_{0}}^{r}{\frac{dr}{\sqrt{\frac{2L}{m}-\frac{h^2}{r^2}+\frac{2GM}{r}}}} $
ora facciamo il minimo comune multiplo sotto la radice al denominatore per ottenere :
$ t-t_0 = \int_{r_{0}}^{r}{\frac{dr}{\sqrt{\frac{2Lr^2-h^2m+2GMmr}{mr^2}}}} $
togliendo i m ed $ r^2 $ da sotto la radice abbiamo :
$ t-t_0 =\sqrt{m}\int_{r_{0}}^{r}{\frac{rdr}{\sqrt{2Lr^2-h^2m+2GMmr}}} $
ora da sotto la radice mettiamo in evidenza un 2L per mettere a 1 il coefficiente di $ r^2 $
$ t-t_0 =\sqrt{\frac{m}{2L}}\int_{r_{0}}^{r}{\frac{rdr}{\sqrt{r^2-\frac{h^2m}{2L}+\frac{2GMmr}{2L}}}} $
ora ci accorgiamo che il radicando è una roba del tipo $ (r+a)^2+b $ quindi raccogliamo sotto il quadrato (salto un po' di passaggi intermedi):
$ t-t_0 =\sqrt{\frac{m}{2L}}\int_{r_{0}}^{r}{\frac{rdr}{\sqrt{(r+\frac{GMm}{2L})^2-\frac{h^2m}{2L}-\frac{G^2M^2m^2}{4L^2}}}} $
ora usiamo un trucco per farci tornare un po' di conti
$ t-t_0 =\sqrt{\frac{m}{2L}}(\int_{r_{0}}^{r}{\frac{rdr}{\sqrt{(r+\frac{GMm}{2L})^2-\frac{h^2m}{2L}-\frac{G^2M^2m^2}{4L^2}}}} $$ + \int_{r_{0}}^{r}{\frac{\frac{GMm}{2L}dr}{\sqrt{(r+\frac{GMm}{2L})^2-\frac{h^2m}{2L}-\frac{G^2M^2m^2}{4L^2}}}} $$ - \int_{r_{0}}^{r}{\frac{\frac{GMm}{2L}dr}{\sqrt{(r+\frac{GMm}{2L})^2-\frac{h^2m}{2L}-\frac{G^2M^2m^2}{4L^2}}}}) $
sommiamo i primi due integrali per ottenere :
$ t-t_0 =\sqrt{\frac{m}{2L}}(\int_{r_{0}}^{r}{\frac{(r+\frac{GMm}{2L})dr}{\sqrt{(r+\frac{GMm}{2L})^2-\frac{h^2m}{2L}-\frac{G^2M^2m^2}{4L^2}}}} $$ - \int_{r_{0}}^{r}{\frac{\frac{GMm}{2L}dr}{\sqrt{(r+\frac{GMm}{2L})^2-\frac{h^2m}{2L}-\frac{G^2M^2m^2}{4L^2}}}}) $
ora se nel primo integrale portiamo sotto il segno di differenziale il termine $ r+\frac{GMm}{2L} $ abbiamo la seguente roba :
$ t-t_0 =\sqrt{\frac{m}{8L}}\int_{r_{0}}^{r}{\frac{d(r+\frac{GMm}{2L})^2}{\sqrt{(r+\frac{GMm}{2L})^2-\frac{h^2m}{2L}-\frac{G^2M^2m^2}{4L^2}}}} $$ - GM{(\frac{m}{2L})^\frac{3}{2}}\int_{r_{0}}^{r}{\frac{d(r+\frac{GMm}{2L})}{\sqrt{(r+\frac{GMm}{2L})^2-\frac{h^2m}{2L}-\frac{G^2M^2m^2}{4L^2}}}} $
ora il primo integrale è del tipo $ \int \frac{dr}{\sqrt{r+b}} = \sqrt{r+b}+c $ mentre il secondo è praticamente un integrale notevole (posso portare la dimostrazione anche di quello ma mi secco a scrivere
) $ \int \frac{dr}{\sqrt{r^2+b}} = \ln(r+\sqrt{r^2+b})+c $
quindi il formulone brutto con gli ingrali diventa uno ancora più brutto con le radici... ed i logaritmi !
:
$ t-t_0 =\sqrt{\frac{m}{8L}}(\sqrt{(r+\frac{GMm}{2L})^2-\frac{h^2m}{2L}-\frac{G^2M^2m^2}{4L^2}} $$ -\sqrt{(r_0+\frac{GMm}{2L})^2-\frac{h^2m}{2L}-\frac{G^2M^2m^2}{4L^2}}) $
$ - GM{(\frac{m}{2L})^\frac{3}{2}}(\ln(r+\frac{GMm}{2L}+\sqrt{(r+\frac{GMm}{2L})^2-\frac{h^2m}{2L}-\frac{G^2M^2m^2}{4L^2}}) $$ -\ln(r_0+\frac{GMm}{2L}+\sqrt{(r_0+\frac{GMm}{2L})^2-\frac{h^2m}{2L}-\frac{G^2M^2m^2}{4L^2}})) $
e finalmente abbiamo l'espressione per t(r) ... sfido chiunque ad invertirla e ricavarsi r(t)
ora per l'espressione di $ \theta $ quello che sono riuscito a fare è a tirare fuori un espressione per $ \theta(r) $
nel modo seguente :
$ h = \dot{\theta}r^2 = \frac{d\theta}{dt}r^2 \Rightarrow d\theta = \frac{hdt}{r^2} $
ora se riprendiamo l'espressione per dt trovata trovata durante la risoluzione delle equazione per r... abbiamo :
$ d\theta = \frac{hdr}{r^2\sqrt{\frac{2L}{m}-\frac{h^2}{r^2}+\frac{2GM}{r}}} $
pertanto :
$ \theta-\theta_0 = \int_{r_0}^{r}{\frac{hdr}{r^2\sqrt{\frac{2L}{m}-\frac{h^2}{r^2}+\frac{2GM}{r}}}} $
che praticamente si risolve con tecniche e trucchetti tipo l'ntegrale di prima non particolarmente complicato ma molto molto lungo...
la cosa più indolore mi è parsa splittare la frazione come A/r + B/sqrt(...)... al limite se volete posso postare la seconda parte domani ^_^
prevedo però un po' duro poi dato tutto il casino dimostrare che per alcune condizioni le orbite sono ellittiche ... e poi dovrei fare due considerazioni sulle costanti ^_^
