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Salve a tutti ! Il mio problema è il seguente:
Keplero aveva detto una volta che le orbite dei pianeti sono ellissi, di cui la stella (ogetto considerato fisso di grande massa) occupa uno dei fuochi.
Ora Newton è giunto alle stesse conclusioni usando la formula per la forza gravitazionale:

$ F = G\frac{mM}{r^2} $

Ora, ho provato a scrivere la lagrangiana del sistema (L = K-U, K K è l'energia cinetica, U è l'energia potenziale) in coordinate polari; la formula se non ho fatto errori dovrebbe essere :

$ L = \frac{1}{2}m((\dot{r})^2 + (r\dot{\theta})^2) + G\frac{mM}{r} $

dove $ \dot{r}^ $ è la velocità radiale, $ \dot{\theta}^ $ è la velocità angolare, r r è la distanza tra i due corpi, uno di questi per semplicità di calcolo è considerato fisso nell'origine

Ora derivando le equazioni differenziali di moto usando $ \frac{d(\frac{\partial{L}}{\partial{\dot{x}}})}{dt} = \frac{\partial{L}}{\partial{x}} $

si ottiene :

$ \ddot{\theta} = \frac{-2\dot{\theta}\dot{r}}{r} $
$ \ddot{r} = r(\dot{\theta})^2 - \frac{MG}{r^2} $

$ \ddot{r} $ è l'accelerazione radiale, $ \ddot{\theta} $ è l'accelerazione angolare, M è la massa del corpo fisso all'origine.


Ora le equazioni sono tuttaltro che lineari e facili da risolvere...e riescono a descrivere uno spettro di orbite un po' più ampio delle orbite ellittiche di Keplero.
Le cose si complicano ancora peggio di così se lascio muovere il corpo di massa M.
La mia domanda era se le leggi di keplero siano una soluzione esatta o un approssimazione ... ???

Ok, risolto l'equazione per teta... si ha che $ h = r^2\dot{\theta} $
vale a dire il momento angolare è costante ... praticamente posso usare la cosa nella seconda equazione per ottenere :
$ \ddot{r}=\frac{h^2}{r^3}-\frac{MG}{r^2} $...
ed ora ??

prova qui:
http://dipastro.pd.astro.it/progettoedu ... icerca.doc

Ho provato a vedere.. non fa un solo cenno alla dimostrazione, cmq la soluzione dovrebbe essere una versione un po' semplificata del problema dei due corpi, che mi sembra abbia una soluzione esplicita per $ r $ e $ \theta $ in funzione di t, ma al punto a cui sono arrivato praticamente smette di essere un problema di fisica e diventa questione di saper risolvere equazioni differenziali ed avere probabilmente un po' di dimestichezza con integrali ellittici (ho provato a risolvere l'euazione per $ \ddot{r} $... ma non sono andato lontano) ..
perchè se trovo l'espressione per r in funzione di t,
"basta" risolvere : $ \int\frac{h}{r^2}dt $...
ed il problema è risolto .... ma come fare ?

Scusa Rael, ma io onestamente non ho capito un bel nulla!!!
Non so neanche cosa dire....

Eghm ... mi sa che sono stato un po' confusionario nel cercare di spiegare il mio problema ...
se c'è qualcosa di poco chiaro ditemi pure ^_^

P.s. ieri sera ho fatto ulteriori progressi: ma mi sono bloccato comunque ... ho come l'impressione che un espressione esplicita nel tempo non esista...
ora tornando alla seconda equazione

$ \ddot{r} = \frac{h^2}{r^3} - \frac{MG}{r^2} $

se moltiplico a destra ed a sinistra per $ \dot{r} $ ottengo :

$ \ddot{r}\dot{r} = h^2\frac{\dot{r}}{r^3} - MG\frac{\dot{r}}{r^2} $

ma questa praticamente è la derivata rispetto al tempo della lagrangiana con in più l'informazione sul momento angolare...

$ h = \dot{\theta}r^2 $


pertanto alla fine se dalla Lagrangia esplicito $ \dot{r} $ ho che

$ \dot{r} = \sqrt{\frac{2L}{m}-\frac{h^2}{r^2}+\frac{2GM}{r}} $

ora se separo le variabili ho che

$ \frac{dr}{dt} = \sqrt{\frac{2L}{m}-\frac{h^2}{r^2}+\frac{2GM}{r}} \Rightarrow $

$ dt = \frac{dr}{\sqrt{\frac{2L}{m}-\frac{h^2}{r^2}+\frac{2GM}{r}}} \Rightarrow $

$ t-t_0 = \int_{r_{0}}^r{\frac{dr}{\sqrt{\frac{2L}{m}-\frac{h^2}{r^2}+\frac{2GM}{r}}}} $

insomma tutta questa fatica, per poi ottenere una t in funzione di r ?!?! e non una r in funzione di t ... ora a patto che la funzione sia invertibile la dovrei invertire rispetto ad r per trovare r(t) sbaglio ??

A quanto ne so, la dimostrazione di Newton è elementare perchè non usa l'analisi (che allora non esisteva visto che le basi fondanti ha contribuito lui stesso a gettarle) ma non è per niente semplice!
Come aveva fatto Archimede, per trovare volumi di solidi non elementari con tecniche di esaustione molto sofisticate basate su esotiche proprietà delle coniche perchè non conosceva l'integrale, così Newton ha usato proprietà geometriche delle coniche che erano studiate e note ai suoi tempi e poi sono diventate inutilizzate (non più insegnate) perchè soppiantate dalle più generali e comode tecniche analitiche.

Per questo, suppongo che la dimostrazione 'diretta' sia piuttosto complessa anche perchè, come è ben noto, l'ellisse non è l'unica famiglia di traiettorie possibili (lo sono tutte le coniche comprese situazioni degeneri).

Però, il problema della dimostrazione è interessante e forse un modo più semplice per trovare la legge di gravitazione dalle osservazioni empiriche di Kepler c'è.
Prova a ragionare all'inverso. Supponi, per semplicità, che la massa del Sole sia infinitamente maggiore di quella della Terra (altrimenti dovresti considerare anche il suo moto attorno al centro di massa comune e questo complica un po' il problema). Inoltre, assumi valide le leggi empiriche di Kepler (Sole nel fuoco, velocità areolare costante), a questo punto non dovrebbe essere difficile esprimere la legge di moto della Terra considerando l'equazione di una generica ellisse nel piano cartesiano e usando come parametro l'angolo formato dal raggio vettore con una direzione fissata (per esempio il semiasse maggiore). I parametri dell'ellisse li puoi lasciare liberi, la soluzione non ne deve dipendere.
Adesso hai la legge di moto del pianeta e quindi ricavi per derivazione l'accelerazione in ogni punto della traiettoria e quindi la forza che su di esso deve essere esercitata dal Sole. Siccome Newton non ha sbagliato, si dovrebbe vedere che tale forza è inversamente prop. al quadrato della distanza...

Buuon lavoro


Se ci riesci per favore puoi postare i calcoli che mi interessano?

ciao

Guarda un po' qua:
http://scienceworld.wolfram.com/physics ... oblem.html

Veramente quanto alle traiettorie ci sarebbero cose un po' più interessanti che semplici coniche ... per esepmio una "spirale ellittica" (ho scritto un programmetto scemo che mi disegni la traiettoria basandosi sulle equazioni differenziali per r e teta) se il corpo che si muove non ha una velocità angolare abbastanza grande, finisce per impattare su quello che sta al centro, tale comportamento è un po' più complesso da descrivere in maniera analitica...

Ora vediamo di mettere un po' di passaggi per tirare fuori t(r):

$ t-t_0 = \int_{r_{0}}^{r}{\frac{dr}{\sqrt{\frac{2L}{m}-\frac{h^2}{r^2}+\frac{2GM}{r}}}} $

ora facciamo il minimo comune multiplo sotto la radice al denominatore per ottenere :


$ t-t_0 = \int_{r_{0}}^{r}{\frac{dr}{\sqrt{\frac{2Lr^2-h^2m+2GMmr}{mr^2}}}} $

togliendo i m ed $ r^2 $ da sotto la radice abbiamo :

$ t-t_0 =\sqrt{m}\int_{r_{0}}^{r}{\frac{rdr}{\sqrt{2Lr^2-h^2m+2GMmr}}} $

ora da sotto la radice mettiamo in evidenza un 2L per mettere a 1 il coefficiente di $ r^2 $

$ t-t_0 =\sqrt{\frac{m}{2L}}\int_{r_{0}}^{r}{\frac{rdr}{\sqrt{r^2-\frac{h^2m}{2L}+\frac{2GMmr}{2L}}}} $

ora ci accorgiamo che il radicando è una roba del tipo $ (r+a)^2+b $ quindi raccogliamo sotto il quadrato (salto un po' di passaggi intermedi):

$ t-t_0 =\sqrt{\frac{m}{2L}}\int_{r_{0}}^{r}{\frac{rdr}{\sqrt{(r+\frac{GMm}{2L})^2-\frac{h^2m}{2L}-\frac{G^2M^2m^2}{4L^2}}}} $

ora usiamo un trucco per farci tornare un po' di conti

$ t-t_0 =\sqrt{\frac{m}{2L}}(\int_{r_{0}}^{r}{\frac{rdr}{\sqrt{(r+\frac{GMm}{2L})^2-\frac{h^2m}{2L}-\frac{G^2M^2m^2}{4L^2}}}} $$ + \int_{r_{0}}^{r}{\frac{\frac{GMm}{2L}dr}{\sqrt{(r+\frac{GMm}{2L})^2-\frac{h^2m}{2L}-\frac{G^2M^2m^2}{4L^2}}}} $$ - \int_{r_{0}}^{r}{\frac{\frac{GMm}{2L}dr}{\sqrt{(r+\frac{GMm}{2L})^2-\frac{h^2m}{2L}-\frac{G^2M^2m^2}{4L^2}}}}) $

sommiamo i primi due integrali per ottenere :

$ t-t_0 =\sqrt{\frac{m}{2L}}(\int_{r_{0}}^{r}{\frac{(r+\frac{GMm}{2L})dr}{\sqrt{(r+\frac{GMm}{2L})^2-\frac{h^2m}{2L}-\frac{G^2M^2m^2}{4L^2}}}} $$ - \int_{r_{0}}^{r}{\frac{\frac{GMm}{2L}dr}{\sqrt{(r+\frac{GMm}{2L})^2-\frac{h^2m}{2L}-\frac{G^2M^2m^2}{4L^2}}}}) $

ora se nel primo integrale portiamo sotto il segno di differenziale il termine $ r+\frac{GMm}{2L} $ abbiamo la seguente roba :

$ t-t_0 =\sqrt{\frac{m}{8L}}\int_{r_{0}}^{r}{\frac{d(r+\frac{GMm}{2L})^2}{\sqrt{(r+\frac{GMm}{2L})^2-\frac{h^2m}{2L}-\frac{G^2M^2m^2}{4L^2}}}} $$ - GM{(\frac{m}{2L})^\frac{3}{2}}\int_{r_{0}}^{r}{\frac{d(r+\frac{GMm}{2L})}{\sqrt{(r+\frac{GMm}{2L})^2-\frac{h^2m}{2L}-\frac{G^2M^2m^2}{4L^2}}}} $

ora il primo integrale è del tipo $ \int \frac{dr}{\sqrt{r+b}} = \sqrt{r+b}+c $ mentre il secondo è praticamente un integrale notevole (posso portare la dimostrazione anche di quello ma mi secco a scrivere ) $ \int \frac{dr}{\sqrt{r^2+b}} = \ln(r+\sqrt{r^2+b})+c $

quindi il formulone brutto con gli ingrali diventa uno ancora più brutto con le radici... ed i logaritmi ! :

$ t-t_0 =\sqrt{\frac{m}{8L}}(\sqrt{(r+\frac{GMm}{2L})^2-\frac{h^2m}{2L}-\frac{G^2M^2m^2}{4L^2}} $$ -\sqrt{(r_0+\frac{GMm}{2L})^2-\frac{h^2m}{2L}-\frac{G^2M^2m^2}{4L^2}}) $
$ - GM{(\frac{m}{2L})^\frac{3}{2}}(\ln(r+\frac{GMm}{2L}+\sqrt{(r+\frac{GMm}{2L})^2-\frac{h^2m}{2L}-\frac{G^2M^2m^2}{4L^2}}) $$ -\ln(r_0+\frac{GMm}{2L}+\sqrt{(r_0+\frac{GMm}{2L})^2-\frac{h^2m}{2L}-\frac{G^2M^2m^2}{4L^2}})) $

e finalmente abbiamo l'espressione per t(r) ... sfido chiunque ad invertirla e ricavarsi r(t)

ora per l'espressione di $ \theta $ quello che sono riuscito a fare è a tirare fuori un espressione per $ \theta(r) $

nel modo seguente :

$ h = \dot{\theta}r^2 = \frac{d\theta}{dt}r^2 \Rightarrow d\theta = \frac{hdt}{r^2} $

ora se riprendiamo l'espressione per dt trovata trovata durante la risoluzione delle equazione per r... abbiamo :

$ d\theta = \frac{hdr}{r^2\sqrt{\frac{2L}{m}-\frac{h^2}{r^2}+\frac{2GM}{r}}} $

pertanto :

$ \theta-\theta_0 = \int_{r_0}^{r}{\frac{hdr}{r^2\sqrt{\frac{2L}{m}-\frac{h^2}{r^2}+\frac{2GM}{r}}}} $

che praticamente si risolve con tecniche e trucchetti tipo l'ntegrale di prima non particolarmente complicato ma molto molto lungo...
la cosa più indolore mi è parsa splittare la frazione come A/r + B/sqrt(...)... al limite se volete posso postare la seconda parte domani ^_^
prevedo però un po' duro poi dato tutto il casino dimostrare che per alcune condizioni le orbite sono ellittiche ... e poi dovrei fare due considerazioni sulle costanti ^_^

si ma mi pare che anche wolfram faccia l'ipotesi che il secondo corpo sia fissato al centro nel risolvere il sistema delle equazioni... per il two body vero, dovrebbe potersi muovere ed ho come la sensazione che venga fuori un bel casino ^_^

Eghm ... con tutto quel macello di formule del post di prima non vorrei aver fatto qualche errore... se ne trovate qualcuno fatemi sapere ^_^ !

Prova qui... non c'è uso di integrali ma funziona lo stesso...

http://fph.altervista.org/math/index.shtml

ragazzi con le simulazioni ottengo queste traiettorie convergenti ... non mi sembrano del tutto delle coniche ... ^_^ (scommetto per via delle assunzioni semplificatve fatte da Keplero ^_^)

Grazie Simo_the_wolf per il link, mi sembra un lettura interessante !

Rael ha scritto: ragazzi con le simulazioni ottengo queste traiettorie convergenti ... non mi sembrano del tutto delle coniche ... ^_^ (scommetto per via delle assunzioni semplificatve fatte da Keplero ^_^)

Grazie Simo_the_wolf per il link, mi sembra un lettura interessante !

Sarei un po' più cauto con le critiche a Keplero!
Propendo per qualche effetto numerico (o errore di programmazione!). Prova a verificare la conservazione dell'energia e del momento angolare, sono convinto che avrai delle soprese!

ciao

Ragazzi non volevo criticare Keplero per carità ! però è probabile che per dimostrare dalle equazioni differenziali del problema dei due corpi (uno dei quali è fisso) che le orbite sono ellittiche ho l'impressione che occorrerà fare qualche ipotesi semplificativa, altrimenti mi sa tanto che non se ne esce.

Due errore di programmazione, probabile, ma ho controllato le equazioni e sembra che non ci siano problemi di segno, e comunque le equazioni sono corrette, stavolta confrontato con il sito di wolfram.
Errori numerici, probabile anche questo, anche se ho usato un Kutta-Runge di quarto ordine per discretizzare il tutto, ma pur sempre una cosa plausibile...

Eghm sbaglio o la traiettoria disegnata dal mio programma non convince molto ?? ^_^
effettivamente neanche a me, però se mettiamo un corpo vicino ad un altro da fermi non è che si mettono ad orbitare di punto in bianco...insomma se la velocità angolare ad esempio è troppo bassa (e supponiamo per semplicità quella radiale prossima a 0, insomma tale da non fuggire via), è inevitabile che il primo corpo impatti sul secondo, eventualmente dopo un certo numero di rivoluzioni intorno a questo... o sto sbagliando qualcosa ?
(Ho simulato il sistema di equazioni differenziali, non una mia ipotetica soluzione)

Quanto alla conservazione dell'energia, sono partito dalla lagrangiana, per cui ne ho tenuto conto per forza di cose (primo post del topic).
Quanto al momento angolare mi sembrava che fosse definito come

$ mh = mr^2\dot{\theta} $ chiaramente divido per m, visto che una costante non cambia nulla, ed il momento dovrebbe conservarsi...
(non vedo cosa centri con il risultato della simulazione ^_^)