OliForum Matematico

Un punto materiale di massa $ m= 8.4 kg $ è soggetto, oltre al peso, a una forza verticale diretta verso l'alto di intensità $ F=c \sqrt{|y|} $ (con $ c=314.7 Nm^{-0.5} $ ) dove $ y $ è la quota. Il corpo viene lasciato libero di cadere da $ y=0 $ con velocità iniziale nulla.

1) Per i Fisici : scrivere l'equazione del moto e calcolare il modulo della velocità quando il corpo passa alla quota $ y=- 10 cm $ .

2) Per i Matematici : determinare la legge oraria, l'ampiezza e il periodo del moto.

3) Per gli Ingegneri : progetto concettuale di un apparato per effettuare l'esperimento (budget disponibile: 250 euro).


Buon divertimento

1)Le forze agenti sul corpo sono il peso $ m\vec{g} $ e la forza $ \vec{F}=(c\sqrt{y})\hat{j} $ diretta verso l'origine dell'asse y (preso tale asse orientato verso il basso, il corpo non si porterà mai spontaneamente a quote y<0). L'equazione del moto (scalare) risulta quindi essere
$ \frac{d^2y}{dt^2}=g-\frac{c}{m}\sqrt{y} $
Poichè la forza $ \vec{F} $ può essere trattata come una forza conservativa, si può associare ad essa un'energia potenziale $ \displaystyle U_F(y)=c\int_0^y \sqrt{y}\,dy=\frac{2}{3}c\sqrt{y^3} $.
Per calcolare la velocità alla quota $ y_0=10cm $ è sufficiente applicare la conservazione dell'energia: $ U_g+U_F+K=0 $, dove K è l'energia cinetica.
Sostituendo alle energie le rispettive espressioni si ottiene
$ -mgy_0+\frac{2}{3}c\sqrt{y_0^3}+\frac{1}{2}mv^2=0 $ da cui
$ \vert v \vert =\sqrt{2gy_0-\frac{4c}{3m}\sqrt{y_0^3}}=0,62ms^{-1} $
2)Studio del moto
La risultante delle forze si annulla ad una quota $ y_1=\frac{m^2g^2}{c^2}=0,51m $
La velocità del corpo è nulla alle quote $ y_m=0 $ e $ y_M=\frac{9}{4}y_1=1,15m $
Se $ y<y_1\, allora\, F<mg $, viceversa se $ y>y_1\, allora\, F>mg $; ciò significa che il moto del corpo è periodico, la sua traiettoria è un segmento con estremi in $ y_m $ e $ y_M $. Per questo moto non si può parlare di ampiezza nel vero significato del termine in quanto il punto di annullamento della risultante non è esattamente al centro della traiettoria. Per la determinazione del periodo si rende necessaria la risoluzione dell'equazione del moto, della quale mi occupo un'altra volta (o se ne occupa qualcunaltro) perchè ora devo scappare. Ciao

Risposta 1) del problema iniziale parzialmente corretta.
Devi aver fatto qualche errore di calcolo (controlla l'accelerazione di gravità) nella seconda parte.
E' vero che il moto non è armonico (anche se penso che sia molto simile), possiamo comunque considerare l'ampiezza come la metà del tratto percorso (che non mi sembra sia quello da te calcolato)

ciao

Scusa, per calcolare $ y_1\, $ ho digitato radice quadrata al posto di elevamento al quadrato nella calcolatrice...
I valori corretti sono
$ y_1=\frac{m^2g^2}{c^2}=0,069m $
$ y_M=\frac{9}{4}y_1=0,15m $
Ciao

Ora mi sembra che ci siamo.
Possiamo quindi continuare con i punti 2 e 3.

Ciao

Scusa ma il punnto 3 non si capisce che vuol dire

Punto 3:

Non sono un ingegnere, ma immagino che con un'elettrocalamita si possa fare...

dimpim ha scritto:Punto 3:

Non sono un ingegnere, ma immagino che con un'elettrocalamita si possa fare...

Non capisco la risposta .... si chiede COME si possa fare non SE si possa fare!

Per nnsoxke:

si tratta di descrivere un apparato sperimentale (semplice) con cui ottenere quel tipo di forza.

ciao a tutti

BMcKmas ha scritto:Non capisco la risposta .... si chiede COME si possa fare non SE si possa fare!

Appunto: con un'elettrocalamita... Poi i dettagli non li so (ve l'ho detto, non sono un ingegnere ).

per la legge oraria ho provato a partire dalla conservazione dell'energia
$ \displaystyle\dot{y}=\sqrt{2g}\sqrt{y-\frac{2c}{3gm}y^\frac{3}{2}} $
posto $ k=\frac{2c}{3gm}=2.547\;m^{-.5} $ e $ \tau=\sqrt{\frac{32}{gk^2}}=\approx \frac{1}{\sqrt{2}}\;s $ e integrando, ottengo
$ \displaystyle \left. -\sqrt{1-k\sqrt{y}}\right|^y_{y_0=0}=\left.\frac{1}{\tau}t\right|^t_{t_0=0} \qquad \qquad y=\frac{1}{k^2}\left(\frac{2t}{\tau}-\frac{t^2}{\tau^2}\right)^2 $
per $ 0\leq y\leq\frac{1}{k^2}=y_M $ e $ \dot{y}\geq 0 $ ovviamente
per la parte con $ \dot{y}\leq 0 $ dovrebbe bastare porre $ y_0=y_M $, cambiare il segno al tempo e porre $ t_0=\tau $
Quindi mi risulta che il periodo sia $ \displaystyle 2\tau=2\sqrt{\frac{72gm^2}{c^2}}\approx \sqrt{2}\;s $
Date un'occhiata se torna tutto.
Grazie

Mi sembra che ci siamo anche con il quesito 2.

Vediamo ora il terzo, che considero di gran lunga più simpatico (perche induttivo e non deduttivo) ...

E' evidente che risposte del tipo: si può usare una elettrocalamita non sono soddisfacenti perchè dire che la forza può essere esercitata con un campo elettromagnetico equivale a rispondere al secondo quesito come: basta risolvere una equazione differenziale.

ciao