Equazione differenziale non lineare

[BMcKmas]

Qualcuno sa se esiste una soluzione in forma chiusa (anche approssimata) $ y(x) $ dell'equazione seguente con $ \lambda $ e $ k $ costanti reali ($ \lambda>0 $ e $ k \ne 0 $) ?

$ \frac{d^2y}{dx^2} + \lambda (\frac{dy}{dx})^2 = k $

con classiche c.i.:
$ y(0) = y_0 $
$ y'(0)=v_0 $

grazie

[BMcKmas]

Mi scuso ma avevo postato male il problema
Ho corretto la formulazione (al quadrato è la derivata prima e non la funzione). Per fortuna nessuno aveva ancora risposto

ciao

[ma_go]

uhm.. sostituisci $ z=y' $, e riscrivi come $ \frac{z'}{k-\lambda z^2} = 1 $, da qui dovrebbe essere praticamente risolta, integrando ambo i membri.. $ z $ si dovrebbe trovare per funzioni elementari, o implicitamente... al più $ y $ si troverà in forma integrale.. non ho fatto i conti, comunque..

[BMcKmas]

ho trovato l'espressione analitica completa della soluzione:

chiamato $ x_0=\frac{\tanh^{-1}(\sqrt\frac{\lambda}{k}v_0)}{\sqrt{\lambda k}} $

dove $ \tanh^{-1} $ è l'arcotangente iperbolica, si ha:


$ y(x)=y_0+\frac{1}{\lambda} \log\frac{ \cosh[\sqrt{\lambda k}(x+x_0) ]}{\cosh(\sqrt{\lambda k}x_0 )} $

ciao e grazie per il consiglio