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Equazione differenziale non lineare
Inviato: 03 apr 2006, 18:40
da BMcKmas
Qualcuno sa se esiste una soluzione in forma chiusa (anche approssimata) $ y(x) $ dell'equazione seguente con $ \lambda $ e $ k $ costanti reali ($ \lambda>0 $ e $ k \ne 0 $) ?
$ \frac{d^2y}{dx^2} + \lambda (\frac{dy}{dx})^2 = k $
con classiche c.i.:
$ y(0) = y_0 $
$ y'(0)=v_0 $
grazie
Inviato: 05 apr 2006, 10:03
da BMcKmas
Mi scuso ma avevo postato male il problema
Ho corretto la formulazione (al quadrato è la derivata prima e non la funzione). Per fortuna nessuno aveva ancora risposto
ciao
Inviato: 05 apr 2006, 16:57
da ma_go
uhm.. sostituisci $ z=y' $, e riscrivi come $ \frac{z'}{k-\lambda z^2} = 1 $, da qui dovrebbe essere praticamente risolta, integrando ambo i membri.. $ z $ si dovrebbe trovare per funzioni elementari, o implicitamente... al più $ y $ si troverà in forma integrale.. non ho fatto i conti, comunque..
Inviato: 05 apr 2006, 19:56
da BMcKmas
ho trovato l'espressione analitica completa della soluzione:
chiamato $ x_0=\frac{\tanh^{-1}(\sqrt\frac{\lambda}{k}v_0)}{\sqrt{\lambda k}} $
dove $ \tanh^{-1} $ è l'arcotangente iperbolica, si ha:
$ y(x)=y_0+\frac{1}{\lambda} \log\frac{ \cosh[\sqrt{\lambda k}(x+x_0) ]}{\cosh(\sqrt{\lambda k}x_0 )} $
ciao e grazie per il consiglio