Funzioni sommabili secondo Moore-Smith

[HiTLeuLeR]

Salve, è da un po'! Vabbè... Ogni tanto vi spio, lo ammetto... Oggi poi ho bisogno di un parere tecnico, gli ingegneri non ne capiscono una cippa di reti - figuriamoci, quando gliene parlo, loro pensano subito ai circuiti elettrici! E i matematici che conosco... Baaah! Ne sanno anche meno di me. Transeat... Cito testualmente dal John Ringrose:

"Suppose that $ f $ is a complex-valued function defined on a set $ A $, $ \mathcal{F} $ is the class of all finite subsets of $ A $ and $ s(F) = \sum_{a \in F} f(a) $ whenever $ F \in \mathcal{F} $. Then $ \sum_{a \in A} f(a) $ exists IF AND ONLY IF $ \sum_{a \in A} |f(a)| $ exists."

Possibile che mi sbagli, ma... tutto questo non ha alcun senso! Tuttavia mi piacerebbe sentire pareri diversi dal mio. Ciao.

EDIT: corretto un dannatissimo typo!

[Marco]

Anche secondo me ha poco senso. In tarticolare, l'ultima somma, dato che è fatta su un numero finito di termini esiste sempre, mentre la prima, evidentemente no... Controesempio: f() = 1 e A un qualunque insieme infinito.

[MindFlyer]

Allora, un paio di ipotesi.

Molti libri a volte fanno delle assunzioni implicite sugli oggetti usati, che vengono di norma dichiarate all'inizio di un capitolo. Quindi ad esempio potrebbero esserci delle condizioni aggiuntive su f, che per brevità non vengono ripetute in tutti i teoremi.

s(F) viene definito, ma non viene utilizzato nell'enunciato del teorema. Quindi è possibile che per un errore di stampa s(F) compaia meno volte del dovuto... A meno che non venga usato solo nella dimostrazione, ma in quel caso non vedo il motivo di appesantire l'enunciato in quel modo.

[EvaristeG]

Dunque ...
se A è un qualunque insieme e X è un gruppo topologico abeliano separabile, data $ f:A\to X $ si è soliti definire $ $\sum_{a\in A}f(a)$ $ nel seguente modo :
si osserva che la famiglia $ \mathcal{F}=\{F\subseteq A\ |\ |F|<\infty\} $ è filtrante per inclusione (è una successione di Moore Smith, è un net, ditelo come volete) e dunque ha senso il limite $ $\lim_{F\in\mathcal{F}}\sum_{a\in F}f(a)$ $; tale limite (quando esiste) si dice essere la somma della serie suddetta.
Se dunque tutte quelle somme dette nell'enunciato riportato da Hit esistono e sono tutte limitate da una stessa costante allora la serie è sommabile su A. Quello che non mi torna è il fatto che non si parli della limitatezza dell'insieme delle somme sui sottoinsiemi finiti...

[HiTLeuLeR]

Anche secondo me ha poco senso. In tarticolare, l'ultima somma, dato che è fatta su un numero finito di termini esiste sempre, mentre la prima, evidentemente no... Controesempio: f() = 1 e A un qualunque insieme infinito.

Colpa mia che ci ho messo $ F $ dove ci andava $ A $. Correggo!!! In ogni caso, sta che non mi torna l'IFF! E tanto per la cronaca... L'interpretazione di Ev è quella a cui mi riferisco anch'io. Anzi c'è addirittura che, per i miei scopi, $ f $ è a valori in uno spazio di Banach.

P.S.: comunque ciao, eh...

[MindFlyer]

Oh, benissimo!
Così, oltre a non servire s(F), non serve più nemmeno F!!

[HiTLeuLeR]

Oh, benissimo!
Così, oltre a non servire s(F), non serve più nemmeno F!!

Ma nuuu, Mind! Il fatto è che forse ho dato per sottintese un paio di cosette, mea culpa! Dunque... L'insieme $ A $ è diretto dalla relazione di inclusione. Su questa premessa, la mappa $ s: \mathcal{F} \to \mathbb{C}: F \mapsto \sum_{a \in F} f(a) $ costituisce una rete. E allora dire che $ f $ è sommabile significa dire che $ s $ è convergente (nel senso di Moore-Smith). Nel qual caso si dice che $ \sum_{a \in A} f(a) $ esiste ed è uguale al limite cui la rete converge. Analogo discorso dicasi per la mappa $ \mathcal{F} \to \mathbb{R}: F \mapsto \sum_{a \in F} |f(a)| $. Ripeto... Quel che non mi torna è l'IF AND ONLY IF.