Gara matematica (vecchio tst)

[what]

In una gara matematica vengono assegnati n problemi. Si ha che
- in ogni problema esattamente 3 persone hanno preso 7 punti
- per ogni coppia di problemi esattamente 1 persona ha preso 7 in entrambi

dimostrare che se n>7 allora esiste un ragazzo che ha preso tutti 7.
si può dire lo stesso se n=7?


è abbastanza facile, non bruciatelo subito...
ciao

[enomis_costa88]

Visto che non posso bruciarlo subito lo imbianco un po'

Sia n>7

Step 1: c'è una persona che ha risolto almeno 4 problemi.
Se così non fosse considerando i 3 risolutori di un problema ciascuno ne avrebbe risolti al più altri due.
Avrei quindi al più 2*3+1=7 problemi, contro ipotesi.

Step 2: c'è una persona che li ha risolti tutti
Chiamiamo A il solver che ha fatto correttamente almeno 4 problemi.
Chiamiamo cattivi i problemi non risolti da A, buoni quelli risolti da A.
Solo A ha risolto più di un problema buono per la seconda condizione.
Ipotizzo esista un problema cattivo:
Per ciascuno dei problemi buoni esiste un solutore che ha risolto il problema cattivo.
Questi solutori sono tutti distinti (poichè solo A ha risolto più di un problema buono) e sono almeno 4.
Questo è assurdo perchè per la prima condizione ogni problema è risolto da 3 persone.
Quindi non ci sono problemi cattivi e A li ha risolti tutti.

Se n=7: ho la seguente configurazione (con A,B..,H solver).
A,B,C
A,F,G
A,H,I
B,F,H
B,I,G
C,F,I
C,G,H

[what]

Ok!
Under 16, provate a farlo! è fattibilissimo!