Ho bisogno dell'n-esima consulenza. 
Siano $ (X, \| \cdot\|) $ uno spazio di Banach sul campo reale o complesso e $ \mathcal{B}(X) $ lo spazio di Banach degli operatori lineari continui di $ X $ in sé con la norma $ \| \cdot\|: \mathcal{B}(X) \times \mathcal{B}(X) \to \mathbb{R}: $ $ \displaystyle T \mapsto \sup\left\{\frac{\|Tx\|}{\|x\|}: x \in X\right\} $, dove si suppone che $ X $ sia non banale. Se $ f \in X^* $ (il duale di $ X $) e $ \{T_n\}_{n \ge 0} $ è una successione a valori in $ \mathcal{B}(X) $ tale che $ \{f\circ T_n\}_{n \ge 0} $ è uniformemente limitata in norma, ossia tale che $ \sup\{\|f\circ T_n\|: n \in \mathbb{N}\} < \infty $, provare allora che $ \{T_n\}_{n \ge 0} $ è anch'essa uniformemente limitata in norma. Sono convinto sia vero, ma non riesco proprio a provarlo. Qualche idea?