successione

[what]

Sia $ a_n $ una successione di reali così definita:

-$ \displaystyle a_1=\frac12 $

-$ \displaystyle a_{n+1}=\frac{a_n^2}{a_n^2-a_n+1} $

dimostrare che per ogni n si ha $ a_1+a_2+...+a_n<1 $

[sqrt2]

Ogni termine si può esprimere come

a_(n+1) = Pn/(Pn+1)

dove Pn indica la produttoria degli a_i con i compreso tra 1 e n-1.

Lo si verifica facilmente per induzione:

Passo base: a_2 = 1/3 = 1/(1/a_1+1)
Passaggio induttivo:
Ipotesi: a_n = Pn/(Pn + 1)
Tesi: a_(n+1) = P(n+1)/(P(n+1)+1)
Dimostrazione:
a_(n+1) = (a_n)^2 /((a_n)^2 - (a_n) + 1)
Sfrutto quindi l'ipotesi e ottengo per sostituzione
a_(n+1) = Pn/(Pn + 1 + 1/Pn)
Moltiplico e divido per a_n
a_(n+1) = P(n+1)/(P(n+1) + a_n((Pn+1)/Pn)) = P(n+1)/(P(n+1) + a_n/a_n) = P(n+1)/(P(n+1)+1)

Ora a_(n+1) < Pn.

Ma per induzione si verifica che Pn = 1 - Sn (dove Sn indica la sommatoria degli a_i con i compreso tra 1 e n-1) quindi è dimostrata la tesi.

Infatti:
Passo base: S2 = 1/2 per cui P2 = 1 - S2
Passaggio induttivo:
Ipotesi: 1 - Sn = Pn
Tesi: 1 - S(n+1) = P(n+1)
Dimostrazione:
La tesi si può anche riscrivere come
1 - Sn - a_n = Pn*a_n
da cui
Pn - a_n = Pn*a_n
che equivale a quanto ho dimostrato prima:
a_(n+1) = Pn/(Pn+1)

[enomis_costa88]

Un'altra soluzione..

Verifico facilmente (per induzione) che la sequenza è decresciente e che tutti i suoi membri sono positivi:

Quindi la diseguaglianza $ a_n^{-1} \ge a_1^{-1} = 2 $ vale sempre.

sia $ f(n)=\frac{a_{n+1}^{-1}-2}{a_{n+1}^{-1}-1} $
è chiaro che f(n)<1 per qualsiasi n.

verifico la seguente identità:
$ f(n)=\sum_{i=1}^n a_i $.
so che:
$ a_1=\frac{1}{2} $ ; $ a_2=\frac{1}{3} $

1) $ f(1)=\frac{1}{2}=\sum_{i=1}^1 a_i $

2) Hp: $ f(n-1)=\sum_{i=1}^{n-1} a_i $
TH: $ f(n)=\sum_{i=1}^{n} a_i $

f(n)=$ \frac{\frac{a_n^2-a_n+1}{a_n^2}-2}{\frac{a_n^2-a_n+1}{a_n^2}-1} $ =$ \frac{\frac{1}{a_n}-2+\frac{a_n}{a_n}-a_n}{\frac{1}{a_n}-1} $=$ f(n-1)+a_n=\sum_{i=1}^{n} a_i $

cui segue la tesi.