Si può costruire??

[Simo_the_wolf]

Sia $ ABC $ un triangolo con $ \hat{A}=30° $. Si disegnino attorno ai vertici tre cerchi di raggio $ BC/3 $.

E' possibile costruire un triangolo equilatero avente i vertici in questi 3 cerchi ?

[Simo_the_wolf]

Uppolo!

[HumanTorch]

in generale no, basti pensare, inscrivendo il triangolo in una circonferenza, a quando si ha un triangolo isoscele su BC; comunque per il caso generale, sto pensando a qualcosa su simmetrie, rotazioni e angoli al centro-circonferenza-tangenti, se trovo qualcosa la posto dopo

[elianto84]

Ricordo un'importante lemma: comunque fissata un'origine,
A,B,C sono i vertici di un triangolo equilatero se e solo se il baricentro
del triangolo che ha per vertici
1) A
2) B ruotato di 120°
3) C ruotato di 240°
coincide con l'origine.
Prendo ora come origine il circocentro di ABC e come lunghezza unitaria
quella del lato BC, per poi ruotare secondo il lemma le circonferenze
centrate in B e C di raggio 1/3 (vedi figura). Deve risultare

$ (-1+\frac{1}{3}e^{i\gamma})+(e^{iT}+\frac{1}{3}e^{i\alpha})+(1+\frac{1}{3}e^{i\beta})=0 $

cioè

$ \displaystyle\frac{e^{i\alpha}+e^{i\beta}+e^{i\gamma}}{3}=e^{i(\pi+T)} $

ma il baricentro di un triangolo giace sulla circonferenza circoscritta solo quando
tutti i vertici coincidono, di conseguenza esiste un'unica soluzione associata agli
angoli

$ \alpha=\beta=\gamma=\pi+T $

ed ecco dove e come salta fuori il triangolo equilatero tanto agognato
(nella speranza che il disegno risulti comprensibile):