Ricordo un'importante lemma: comunque fissata un'origine,
A,B,C sono i vertici di un triangolo equilatero se e solo se il baricentro
del triangolo che ha per vertici
1) A
2) B ruotato di 120°
3) C ruotato di 240°
coincide con l'origine.
Prendo ora come origine il circocentro di ABC e come lunghezza unitaria
quella del lato BC, per poi ruotare secondo il lemma le circonferenze
centrate in B e C di raggio 1/3 (vedi figura). Deve risultare
$ (-1+\frac{1}{3}e^{i\gamma})+(e^{iT}+\frac{1}{3}e^{i\alpha})+(1+\frac{1}{3}e^{i\beta})=0 $
cioè
$ \displaystyle\frac{e^{i\alpha}+e^{i\beta}+e^{i\gamma}}{3}=e^{i(\pi+T)} $
ma il baricentro di un triangolo giace sulla circonferenza circoscritta solo quando
tutti i vertici coincidono, di conseguenza esiste un'unica soluzione associata agli
angoli
$ \alpha=\beta=\gamma=\pi+T $
ed ecco dove e come salta fuori il triangolo equilatero tanto agognato
(nella speranza che il disegno risulti comprensibile):
