Dato un polinomio $ P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0 $ a coefficienti interi.
Se è verificato per un qualunque primo $ p $ che:
$ p\nmid a_n $
$ p \mid a_i $ $ \forall 0\leq i <n $
$ p^2 \nmid a_0 $
Allora $ P(x) $ è irriducibile in $ Z[x] $.
spero di aver scritto bene il tipo a cui è intitolato questo criterio....
Supponiamo che le tuple $ (a_0,\ldots,a_m), $ siano complete (quindi invece di dire che un coefficiente non esiste, diciamo che è 0).
Abbiamo che: $ c_0 = a_0 \cdot b_0 $ (è l'unico modo di ottenerlo).
Poichè $ p \mid c_0 $ ma $ p^2 \nmid c_0 $, uno e solo uno tra $ a_0 $ e $ b_0 $ è divisibile per $ p $. Per simmetria supponiamo che $ p \mid a_0 $ e $ p \nmid b_0 $.
Ora vogliamo dimostrare per induzione che $ p \mid a_i \qquad \forall 0 \le i \le m $.
Il passo basa c'è già, ora supponiamo che valga per $ i $ e dimostriamo che vale per $ i+1 $.
Sappiamo che $ \displaystyle c_{i+1} = \sum_{k=0}^{i+1} a_k \cdot b_{i+1-k} $.
Ma (per il passo induttivo) $ p \mid a_k \qquad \forall 0 \le k \le i $. Quindi, se vogliamo che $ p | c_{i+1} $, deve essere $ p \mid a_{i+1} \cdot b_0 $. Ma abbiamo già visto che $ p \nmid b_0 $, quindi $ p \mid a_{i+1} $.
Andando avanti così giungiamo a dimostrare che $ p | a_m $. Ma $ c_{m+n} $, il coefficiente di grado massimo di P(x), si può ottenere solo come $ a_m \cdot b_n $, ne concludiamo che $ p \mid c_{m+n}.
Che va contro le ipotesi. $
:D:D:D:D