OliForum Matematico

Criterio di Eisenstein

Dato un polinomio $ P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0 $ a coefficienti interi.
Se è verificato per un qualunque primo $ p $ che:
$ p\nmid a_n $
$ p \mid a_i $ $ \forall 0\leq i <n $
$ p^2 \nmid a_0 $

Allora $ P(x) $ è irriducibile in $ Z[x] $.

spero di aver scritto bene il tipo a cui è intitolato questo criterio....

Per esercizi andate qua: http://olimpiadi.ing.unipi.it/oliForum/ ... hp?p=51833

Nel frattempo divertitevi a dimostrarlo...

Simo credo tu abbia messo una i di troppo: il tipo dovrebbe essere Eisenstein.

Domanda: esistono polinomi irriducibili la cui irriducibilità non può essere dimostrata usando Eisenstein?

Hmmm... Questo va bene?
$ x^4+x^3+x^2+x+1 $

Sisifo ha scritto:Hmmm... Questo va bene?
$ x^4+x^3+x^2+x+1 $

Lol, hai visto il terzo esercizio del link proposto da StW?

Lo so.. ero anch'io al WC (da dove penso che vengano quegli esercizi)
Pero' non si puo' dimostrare iin maniera diretta..

Dimostrazione $ \pmod{ cazzate} $

Se fosse scomponibile avremmo:
$ P(x)=A(x)\cdot B(x) $
$ A(x)=a_mx^m + \ldots + a_1x+a_0 $
$ B(x)=b_nx^m + \ldots + b_1x+b_0 $
$ P(x)=c_{m+n}x^{m+n} + \ldots + c_1x+c_0 $

Supponiamo che le tuple $ (a_0,\ldots,a_m), $ siano complete (quindi invece di dire che un coefficiente non esiste, diciamo che è 0).

Abbiamo che: $ c_0 = a_0 \cdot b_0 $ (è l'unico modo di ottenerlo).
Poichè $ p \mid c_0 $ ma $ p^2 \nmid c_0 $, uno e solo uno tra $ a_0 $ e $ b_0 $ è divisibile per $ p $. Per simmetria supponiamo che $ p \mid a_0 $ e $ p \nmid b_0 $.

Ora vogliamo dimostrare per induzione che $ p \mid a_i \qquad \forall 0 \le i \le m $.
Il passo basa c'è già, ora supponiamo che valga per $ i $ e dimostriamo che vale per $ i+1 $.

Sappiamo che $ \displaystyle c_{i+1} = \sum_{k=0}^{i+1} a_k \cdot b_{i+1-k} $.
Ma (per il passo induttivo) $ p \mid a_k \qquad \forall 0 \le k \le i $. Quindi, se vogliamo che $ p | c_{i+1} $, deve essere $ p \mid a_{i+1} \cdot b_0 $. Ma abbiamo già visto che $ p \nmid b_0 $, quindi $ p \mid a_{i+1} $.

Andando avanti così giungiamo a dimostrare che $ p | a_m $. Ma $ c_{m+n} $, il coefficiente di grado massimo di P(x), si può ottenere solo come $ a_m \cdot b_n $, ne concludiamo che $ p \mid c_{m+n}. Che va contro le ipotesi. $

Leggendo la dimostrazione di edriv ho uno strano senso di deja vu :D:D:D:D