Nessuno di questi si arrenderà mai.... XD

[Simo_the_wolf]

Dimostrare che i seguenti polinomi sono irriducibili:

- $ x^p+px+p $ per $ p $ primo
- per $ p>2 $ primo, $ p^2 \nmid a $ qualunque, almeno uno tra $ x^p + px+a $ e $ x^p - px+a $
- $ x^{p-1}+x^{p-2} + .... + x+1 $ per $ p $ primo
- $ x^{p-1}-x^{p-2} + .... - x+1 $ per $ p>2 $ primo
- $ x^n+5 $ per ogni $ n>0 $
- $ x^n+5x^{n-1} +3 $ per $ n>1 $


Scomporre il seguente polinomio: $ x^{37}-37x +36 $


Per chi volesse un aiutino... http://olimpiadi.ing.unipi.it/oliForum/ ... hp?p=51832

[Boll]

Dimostrare che i seguenti polinomi sono irriducibili:
- $ x^n+5x^{n-1} +3 $ per $ n>1 $

Guardiamo tutto in $ \mathbb{Z}_3 $
$ x^n+5x^{n-1}+3\equiv x^n-x^{n-1}\equiv x^{n-1}(x-1)\qquad \mod 3 $
Quindi, se fosse riducibile avremmo $ P(x)=g(x)h(x) $
$ g(x)\equiv x^{n-1-k}\qquad \mod 3 $
$ h(x)\equiv x^{k}(x-1)\qquad \mod 3 $

Se $ k>0 $ abbiamo che il termine di grado zero è multiplo di 9, cosa che ovviamente non è.

Ora il caso spinoso, $ k=0 $
$ $ g(x)=x^{n-1}+\sum_{i=0}^{n-2} 3k_ix^i $
$ $h(x)=x-(3h+1) $
$ P(x)=x^n+(3k_{n-2}-3h-1)x^{n-1} $$ +(3k_{n-3}-3k_{n-2}(3h+1))x^{n-2} $$ +\dots (3k_0-3k_1(3h+1)x-3k_0(3h+1) $
quindi $ 3k_0(3h+1)=-3 $ da cui $ h=0 $
$ P(x)=x^n+(3k_{n-2}-1)x^{n-1} $$ +(3k_{n-3}-3k_{n-2})x^{n-2} $$ +\dots (3k_0-3k_1)x-3k_0 $

sistemone partendo dall'alto
$ 3k_{n-2}-1=5 $
$ k_{n-3}-k_{n-2}=0 $
$ k_{n-4}-k_{n-3}=0 $
$ \dots $
$ k_{0}-k_{1}=0 $

che ha soluzione (induzione) $ k_1=k_2=k_3=\dots=k_{n-2}=2 $
Quindi $ P(x)=x^n+5x^{n-1}-6 $
ASSURDO!

EDIT: Corretta la pignoleria di Evag

[sqrt2]

ops, scusate ho scritto scemenze.

[Simo_the_wolf]

sqrt2, non avere radici reali o intere non implica essere irriducibile...

Prendi ad esempio $ x^4+x^2+1 $ che è ovviamente sempre positivo ma si può scomporre in $ (x^2-x+1)(x^2+x+1) $

[pic88]

Scomporre il seguente polinomio: $ x^{37}-37x +36 $

$ x^{37}-37x +36= \[ \left( {x - 1} \right)^2 \left( {x^{35} + 2x^{34} + 3x^{33} + ... + 35x + 36} \right) \] $
avevo una dimostrazione di ciò che inserirò al più presto

[Giggles]

Scomporre il seguente polinomio: $ x^{37}-37x +36 $

$ x^{37}-37x +36= \[ \left( {x - 1} \right)^2 \left( {x^{35} + 2x^{34} + 3x^{33} + ... + 35x + 36} \right) \] $
avevo una dimostrazione di ciò che inserirò al più presto

beh, fin qua basta ruffini...

[pic88]

Scomporre il seguente polinomio: $ x^{37}-37x +36 $

$ x^{37}-37x +36= \[ \left( {x - 1} \right)^2 \left( {x^{35} + 2x^{34} + 3x^{33} + ... + 35x + 36} \right) \] $
avevo una dimostrazione di ciò che inserirò al più presto

beh, fin qua basta ruffini...

(dimostrazione del fatto che l'ultimo fattore non è scomponibile, intendevo...)

[EvaristeG]

Ehm, Boll, una pignoleria :
$ \mathbb{Z}[3] $ non è l'insieme delle classi di resto modulo 3, ma è un'estensione di Z che contenga anche 3 (e quindi Z stesso ... di solito si trova piuttosto $ \mathbb{Z}[\sqrt{3}] $ che è, per esempio, l'insieme dei numeri della forma $ a+b\sqrt{3} $ con a,b interi).
L'insieme dei numeri modulo 3 si può indicare con $ \mathbb{Z}/_{3\mathbb{Z}} $ oppure con $ \mathbb{Z}_3 $ ... ma per quel che dovevi fare, credo ti bastasse scrivere "ragioniamo modulo 3".

[edriv]

Dimostrare che i seguenti polinomi sono irriducibili:
- per $ p>2 $ primo, $ p^2 \nmid a $ qualunque, almeno uno tra $ x^p + px+a $ e $ x^p - px+a $

Scomporre il seguente polinomio: $ x^{37}-37x +36 $

Questo l'avevate saltato... allora, cerco di applicare Einsenstein a uno tra:
$ ~ (x-a)^p + p(x-a) + a $
$ ~ (x-a)^p -p(x-a) + a $
Dal fatto che p è primo e dallo sviluppo del binomiale, sappiamo che tutti i coefficienti di grado tra p-1 e 1 sono multipli di p. Vediamo il termine noto. Possiamo assumere a non multiplo di p, altrimenti potevamo applicare Eisentein subito.
I termini noti sono:
$ ~ -a^p - ap + a $
$ ~ -a^p + ap + a $
Per Fermat, entrambi sono multipli di p. Possono essere entrambi multipli di $ ~p^2 $? No, perchè altrimenti lo sarebbe anche la loro differenza: $ ~ 2ap $, ma a non è multiplo di p, e qui entra in gioco il fatto che p non è 2.
Quindi uno dei due ha il termine noto non divisibile per $ ~p^2 $ e possiamo applicare Eisenstein.

Quanto all'ultimo, penso sia abbastanza tosto se non altro per il fatto che su mathlinks non c'è ancora una soluzione: http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic ... polynomial