Una diseguaglianza (...tanto per cambiare!)

[Leandro]

Dimostrare che e':
$ $\sqrt[3]{\frac{abc+bcd+cda+dab}{4}}\leq\sqrt{\frac{ab+ac+ad+bc+bd+cd}{6}} $
dove a,b,c,d>0
Leandro

[Bacco]

Catena alla MacLaurin...

[edriv]

Sì, ma MacLaurin si basa su Newton che ha sua volta si dimostra con un bel po' di derivate.
Credo che lui chieda una dimostrazione di quella singola disuguaglianza, però il più elementare possibile.
Forse dopo ci provo anche io, ma... non è nelle mie capacità

[Leandro]

Vorrei proporre questa soluzione che ,benche' faccia uso della derivata
prima di un polinomio,contiene una qualche novita' (ricavata dalla lettura
di un quesito analogo).
Per come e' organizzata la diseg.,e' possibile considerare a,b,c,d
come le radici di un polinomio di 4°grado:
$ P(x)=(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)= $
$ =x^4-(a+b+c+d)x^3+(ab+ac+ad+bc+bd+cd)x^2- $$ (abc+bcd+cda+dab)x+abcd $
la cui derivata prima e':
$ P'(x)= $
$ =4x^3-3(a+b+c+d)x^2+ $$ 2(ab+ac+ad+bc+bd+cd)x-(abc+bcd+cda+dab) $
Tale derivata,com'e' noto, ha 3 radici u,v,w legate ai coefficienti di P'(x)
da varie relazioni,tra le quali :
(1) $ $uvw=\frac{abc+bcd+cda+dba}{4}, $$ $uv+vw+wu=\frac{ab+ac+ad+bc+bd+cd} {2} $
Ora abbiamo:
$ $\sqrt[3]{uvw}=\sqrt{\sqrt[3]{(uv)(vw)(wu)}}\leq \sqrt{\frac{uv+vw+wu}{3}} $
e sostituendo le (1) si ha appunto:
$ $\sqrt[3]{\frac{abc+bcd+cda+dab}{4}}\leq \sqrt{\frac{ab+ac+ad+bc+bd+da}{6} $
Leandro