Possiedo una moneta. Se la lancio posso ottenere con la stessa probabilità o testa o croce. Si consideri un gioco Gdefinito da determinate regole che funzioni nel seguente modo: io lancio la moneta, tramite l\'insieme di regole che definisco G decido se ho vinto, ho perso o devo ritirare.
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<BR>Dimostrare che per ogni numero irrazionale t in (0,1) esiste un gioco (un insieme di regole che lo definisco quindi) per il quale abbia probabilità di vittoria pari a t, e tale che la probabilità che il gioco termini in un numero finito di mosse sia pari a 1.
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<BR><font size=1>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Gauss il 2002-10-06 17:55 ]</font><BR><BR><font size=1>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Gauss il 2002-10-06 17:57 ]</font>
Giochini con le monete
Moderatore: tutor
Consideriamo la nostra moneta. Un gioco fra due persone con questa moneta sarà determinato da una serie di regole che mi dicono, quando è il mio turno, se devo tirare, o se ha vinto qualcuno [esempio, prendiamo il gioco dove vince chi per primo fa testa, le regole mi diranno che se le uscitre passate sono (cr,cr,cr,cr) devo tirare, se sono (cr, cr, cr, cr, cr, tes), ho perso].
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<BR>Ora, dato un numero t in (0,1), voglio trovare una serie di regole che mi definiscano un gioco nel quale ho probabilità t di vincere, e tale che la probabilità che il gioco si protragga all\'9infinito sia 0.
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<BR>Chiaro?
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<BR>Ora, dato un numero t in (0,1), voglio trovare una serie di regole che mi definiscano un gioco nel quale ho probabilità t di vincere, e tale che la probabilità che il gioco si protragga all\'9infinito sia 0.
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<BR>Chiaro?
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I can smile... and kill while i smile.
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(Questo metodo funziona per ogni t in [0,1], anche razionale...)
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<BR>Orbene, scriviamo t in binario: otteniamo un numero della forma 0. a_1 a_2 a_3 ..., dove gli a_i sono cifre binarie 0-1. Consideriamo inoltre, per esigenze formali, i numeri con una scrittura finita come seguiti da infiniti 0. Per il significato stesso della scrittura binaria di t, la serie Sum( i=1..+inf : a_i/(2^i) ) converge a t.
<BR>Ora, poniamo la convenzione di considerare testa=0 e croce=1, e definiamo G come segue: all\'i-esimo lancio, se esce 0 rilancio; se esce 1, allora se a_i=1 ho vinto, e se a_i=0 ho perso.
<BR>Esce fuori un albero binario infinito, in cui si verifica immediatamente che la probabilità di vincere in un numero finito di lanci è esattamente la serie di cui sopra, mentre la probabilità di perdere in un numero finito di lanci è 1- la serie di cui sopra. Perciò la probabilità di non terminare mai è 0, fatto intuitivo se si pensa che tale evento si ottiene solo con una successione infinita di 0, che ha probabilità (calcolata rozzamente!) (1/2)^(+inf)=0.[addsig]
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<BR>Orbene, scriviamo t in binario: otteniamo un numero della forma 0. a_1 a_2 a_3 ..., dove gli a_i sono cifre binarie 0-1. Consideriamo inoltre, per esigenze formali, i numeri con una scrittura finita come seguiti da infiniti 0. Per il significato stesso della scrittura binaria di t, la serie Sum( i=1..+inf : a_i/(2^i) ) converge a t.
<BR>Ora, poniamo la convenzione di considerare testa=0 e croce=1, e definiamo G come segue: all\'i-esimo lancio, se esce 0 rilancio; se esce 1, allora se a_i=1 ho vinto, e se a_i=0 ho perso.
<BR>Esce fuori un albero binario infinito, in cui si verifica immediatamente che la probabilità di vincere in un numero finito di lanci è esattamente la serie di cui sopra, mentre la probabilità di perdere in un numero finito di lanci è 1- la serie di cui sopra. Perciò la probabilità di non terminare mai è 0, fatto intuitivo se si pensa che tale evento si ottiene solo con una successione infinita di 0, che ha probabilità (calcolata rozzamente!) (1/2)^(+inf)=0.[addsig]
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Wow, adesso che ci penso, direi che per t irrazionale, il gioco G è unico (a meno di \"isomorfismi\" banali, cioè scambi di ruolo di testa e croce in un sottoinsieme dei lanci). Non l\'ho propriamente dimostrato, ma mi pare MOLTO plausibile. Chi lo dimostra?
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