Una particolare concorrenza

[Leandro]

Nel triangolo (acutangolo) ABC si consideri il punto P che vede i
lati di ABC sotto l'angolo di 120° (e' il cosiddetto "punto isogonico").
Dimostrare che le rette di Eulero dei triangoli APB,BPC e CPA
concorrono in uno stesso punto.Che relazione ha tale punto col
triangolo dato ABC ?
Leandro.

[mattilgale]

Consideriamo il triangolo equilatero ABC’ costruito esternamente ad ABC e chiamiamo M il punto medio di AB. Il circocentro di APB è anche il circocentro di ABC’ poiché APBC’ è ovviamente inscrivibile in una circonferenza.
Chiamiamo G il baricentro di APB e O il circocentro di APB (e ABC’) e consideriamo il triangolo PMC’:
G sta su PM e GM=PM/3
O sta su C’M e OM=C’M/3

Quindi OG, cioè la retta di eulero di APB, è parallelo a PC’

Dimostriamo adesso che C, P e C’ sono allineati:
se consideriamo la circonferenza circoscritta a APB osserviamo che APC’ e ABC’ insistono sullo stesso arco. Quindi APC’=60°, quindi CPA+APC’=180°

Pertanto OG è parallelo a CC’.
Consideriamo adesso il triangolo CMC’, poiché OG è parallelo a CC’ e C’O=C’M/3, se chiamiamo K il punto in cui OG incontra CM (cioè la mediana di ABC relativa ad AB) ci ha che KM=CM/3.
Quindi K è il baricentro di ABC

Svolgendo lo stesso ragionamento simmetricamente per APC e BPC si ha che le rette di eulero di questi tre triangoli concorrono nel baricentro di ABC.

CVD
SGOPN

[Leandro]

Soluzione ovviamente perfetta.
Mi permetto di fare un piccolo rilancio :
Dimostrare che il punto isogonico P e',tra i punti del piano di ABC, quello
per il quale e' minima la somma PA+PB+PC.
Leandro

[darkcrystal]

E' il cosiddetto "problema di Steiner", vero?

[Leandro]

Non so se si chiama così:so solo che il problema fu proposto per la prima
volta ( e risolto) da E.Torricelli.Almeno cosi' ho trovato scritto.
Una sua generalizzazione e' quella di trovare il minimo di
$ \overline{PA}^n+\overline{PB}^n+\overline{PC}^n $
Per n=1 si ha il punto isogonico
Per n=2 si ha il baricentro
Leandro

[il gurzo]

Premetto che non sono pratico del forum però un’idea sul problema di Steiner mi è venuta in mente.
Prima di dimostrarlo però ho bisogno di considerare un altro lemma:
dati due punti A e B e una retta r, il punto P appartenente a r tale che la somma AP+BP sia minima è tale che, presi sulla retta due punti H e K, da parti opposte rispetto a P, sia APK=BPH .
Per dimostrarlo, supponiamo che non sia vero e che esista un punto P’ tale che AP’+BP’<AP>B’A.
Pertanto il lemma resta dimostrato.
Ora consideriamo il triangolo ABC; dobbiamo trovare il punto P in modo tale che sia minima AP+BP+CP. Supponiamo per semplicità che l’angolo maggiore sia quello in C e tracciamo la circonferenza di centro C e raggio CP e la retta r tangente a tale circonferenza in P, e pependicolare quindi a CP . Tornando al lemma di prima, la condizione di valore minimo per la somma AP+BP è quando APr=BPr e, per la perpendicolarità di CP e r, è APC=BPC. Lo stesso ragionamento si può applicare per A e B. Pertanto i tre angoli in P devono essere fra loro congruenti ed esplementari, quindi di 120°.