Funzionale con continuità

[EvaristeG]

Determinare tutte le funzioni continue $ f:\mathbb{R}^+\to\mathbb{R} $ tali che
1) $ f(0)=1 $
2) $ (f(t))^n=f(\sqrt{n}t) $ per ogni $ t\in\mathbb{R}^+ $ e $ n\in\mathbb{N} $

[Nonno Bassotto]

f(0)= cosa? Non si legge, credo che ci sia stato qualche problema con la renderizzazione latex.
Ciao

[Nonno Bassotto]

E poi 0 non è nel dominio. O intendi che il dominio è [0,inf[?

[EvaristeG]

Allora ... per quanto riguarda la leggibilità, penso sia un problema di browser, non di tex (hai Mozilla, per caso?). Cmq è f(0)=1.
Per il resto ... sì, diciamo che $ f:[0,+\infty[\to\mathbb{R} $

[Nonno Bassotto]

Allora... Intanto dall'equazione si ricava f(2t)=f(t)^4; poiché ogni numero reale è divisibile per due, f è non negativa. Inoltre se f(t)=0, allora f(t/n)=0 per ogni n, e per continuità f(0)=0. Dunque f(t)>0 ovunque.

Scriviamo allora f(t)=exp(g(t)); i dati diventano:
ng(t)=g(sqrt(n)t)
g(0)=0

Con n^2 al posto di n trovo g(nt)=n^2 g(t), così mi evito simbolacci, che non posso usare il tex. Questo mi dice che una volta che fisso g(1)=a, g è determinata su tutti i razionali da g(m/n)=(m/n)^2 a. Per continuità lo stesso vale per ogni reale.

In conclusione g(t)=a t^2, e f(t)=exp(a t^2) per qualche a. Chiaramente tutte queste verificano il testo.


Spero di non aver scritto boiate.
Ciao

[mattilgale]

allora...

poniamo $ g(x^2)=f(x) $

adesso osserviamo che la relazione diventa

$ (g(t^2))^n=g(nt^2) $.

poniamo t=1 e g(1)=a

quindi

$ g(n)=a^n\ \forall n\in\mathbb{N} $

prendiamo adesso t^2 razionale positivo
quindi $ t^2=\frac{m}{n} $ con m, n naturali

allora

$ \displaystyle g(\frac{m}{n})=g(n\cdot \frac{m}{n})^{\frac{1}{n}}=a^{\frac{m}{n}} $

sfruttando la continuità la cosa va a valere anche per gli irrazionali (non so precisamente i passaggi, però è sempre abbastanza immediato di solito, mi capitasse a un preimo andrebbe spiegato?)

quindi

$ g(x)=a^x $

cioè

$ f(x)=a^{x^2}\ \ \forall x\in \mathbb{R}^+ $ U $ {0} $

CVD
SGOPN

[mattilgale]

azz
per un minuto

[EvaristeG]

Ok, Ok ... (anche se Nonno Bassotto un punto su 7 se lo giocherebbe ... non ho messo R^+ per caso : va specificato che si riesce a dir qualcosa solo sui reali positivi, almeno in quel modo).

Allora, a proposito di quella faccenda della continuità sollevata da mattilgale, di certo una simile affermazione non andrebbe per nulla giustificata, a livello perIMO e IMO, in quanto si suppone che chi la fa sappia cosa sta dicendo. Comunque, vediamo di far chiarezza a tal proposito :

1) una successione di numeri reali è una funzione $ x:\mathbb{N}\to\mathbb{R} $, ovvero una cosa che ad ogni numero naturale associa un reale ... di solito, invece di indicare con $ x(n) $ l'immagine di n, si usa $ x_n $.

2) una successione di reali $ \{y_n\} $ si dice avere come limite il numero reale $ x $ se per ogni $ \epsilon>0 $ esiste un $ M\in\mathbb{N} $ tale che per tutti gli $ n>M $ si ha $ |y_n-x|<\epsilon $; ovvero, facciamo un gioco : tu scegli una distanza e io ti trovo un elemento della successione tale che tutti quelli dopo cadono entro la distanza scelta da x, se posso farlo per qualunque distanza tu scelga, allora affermo che x è il limite della successione.

3) una funzione $ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} $ si dice continua nel punto $ x\in\mathbb{R} $ se, comunque scelta una successione di reali $ \{x_n\} $ che abbia limite x, si ha che $ \{f(x_n)\} $ è una successione di reali che ha come limite $ f(x) $. Ovvero, faccio una successione con le immagini dei miei x_n e voglio che "il limite delle immagini sia l'immagine del limite". Se questo succede per ogni successione che va ad x, allora la funzione è continua in x.

4) una funzione si dice continua su un sottoinsieme (di solito, servirebbe aperto) dei numeri reali se è continua in ogni punto di tale sottoinsieme. Per la precisione, il sottoinsieme in questione sarà di solito qualcosa della forma $ (a,b) $ o $ (a,+\infty) $ o $ (-\infty,b) $ (le parentesi tonde indicano intervalli aperti) o un unione di aggeggi del genere.

Ora, nel nostro caso, quel che serve di solito è questo :

Siano $ f,g:\mathbb{R}\to\mathbb{R} $ due funzioni continue su tutti i numeri reali; supponiamo di sapere che $ f(q)=g(q) $ per ogni $ q\in\mathbb{Q} $. Allora $ f(x)=g(x) $ per ogni $ x\in\mathbb{R} $.

Usando le definizioni di cui sopra e un pochino di furbizia non dovrebbe essere difficile dimostrarlo, no?

[mattilgale]

sì
perfietto

[Nonno Bassotto]

Mi giocherei un punto perché ho detto tutti i razionali (il dominio è R+) invece che tutti i razionali positivi? Non credo proprio...

[EvaristeG]

sorry, ma io lo credo ... è vero che non correggo spesso algebra, mi capita piuttosto geometria, ma la mancanza di un qualunque riferimento al fatto che con la condizione data dal testo di possano trovare solo i valori positivi un punto probabilmente lo farebbe perdere ... è anche vero che io sono cattivo, però è quel genere di cose che è sempre meglio scrivere!
(ovviamente, sto parlando dell'ambito olimpico)

[Nonno Bassotto]

Io ho fatto e corretto le olimpiadi e non mi risulta che sia mai stata usata questa pignoleria. Se fosse stato necessario un passo ulteriore per i razionali negativi, alora sì. Ma siccome i razionali negativi non compaiono nel problema, il fatto di dire razionali invece di razionali positivi verrebbe (almeno da me e da tutti quelli con cui ho corretto) considerato come una banale imprecisione di linguaggio.
Ad ogni modo non posto su questo forum nell'ottica di essere valutato e fare punti, semplicemente di divertirmi e chiacchierare di mate, perciò perdona se sono un po' informale quando scrivo.
Ciao