$ \displaystyle n^{\frac{n+1}{n}} > {(n+1)}^{\frac{n}{n+1}}, \quad n \geq 2 \quad n \in \mathbb{N} $
Questa l'ho "scoperta" io oggi quindi non è "assicurata"... però sembra venire ed è carina, no?
Naturali ed esponenti
Naturali ed esponenti
Dimostrare che:
$ \displaystyle n^{\frac{n+1}{n}} > {(n+1)}^{\frac{n}{n+1}}, \quad n \geq 2 \quad n \in \mathbb{N} $
Questa l'ho "scoperta" io oggi quindi non è "assicurata"... però sembra venire ed è carina, no?
$ \displaystyle n^{\frac{n+1}{n}} > {(n+1)}^{\frac{n}{n+1}}, \quad n \geq 2 \quad n \in \mathbb{N} $
Questa l'ho "scoperta" io oggi quindi non è "assicurata"... però sembra venire ed è carina, no?
...
Allora...per induzione non mi viene nulla di buono.Provo una strada alternativa:
Per n=2 si dimostra subito con la calcolatrice.Anzichè considerare n naturale dimostro la disuguaglianza per tutti i $ n \in R:n \ge e $.
La disuguaglianza si può riscrivere come:
$ \displaystyle \frac{{n + 1}}{n}\ln n > \frac{n}{{n + 1}}\ln \left( {n + 1} \right) $
Applicando Lagrange alla funzione $ y= \ln n $ nell'intervallo $ \left[ {n,n + 1} \right] $ si ricava che:
$ \displaystyle \ln \left( {n + 1} \right) < \ln n + \frac{1}{n} $
Per n=2 si dimostra subito con la calcolatrice.Anzichè considerare n naturale dimostro la disuguaglianza per tutti i $ n \in R:n \ge e $.
La disuguaglianza si può riscrivere come:
$ \displaystyle \frac{{n + 1}}{n}\ln n > \frac{n}{{n + 1}}\ln \left( {n + 1} \right) $
Applicando Lagrange alla funzione $ y= \ln n $ nell'intervallo $ \left[ {n,n + 1} \right] $ si ricava che:
$ \displaystyle \ln \left( {n + 1} \right) < \ln n + \frac{1}{n} $
Quindi:
$ \displaystyle \frac{{n + 1}}{n}\ln n - \frac{n}{{n + 1}}\ln \left( {n + 1} \right) > \frac{{n + 1}}{n}\ln n - $$ \displaystyle \frac{n}{{n + 1}}\ln n - \frac{1}{{n + 1}} = \frac{1}{{n + 1}}\left( {\frac{{2n + 1}}{n}\ln n - 1} \right) $
Dal momento che $ \ln n \ge 1 $ e $ \displaystyle \frac{{2n + 1}}{n} = 2 + \frac{1}{n} > 2 $ la disuguaglianza è verificata.
$ \displaystyle \frac{{n + 1}}{n}\ln n - \frac{n}{{n + 1}}\ln \left( {n + 1} \right) > \frac{{n + 1}}{n}\ln n - $$ \displaystyle \frac{n}{{n + 1}}\ln n - \frac{1}{{n + 1}} = \frac{1}{{n + 1}}\left( {\frac{{2n + 1}}{n}\ln n - 1} \right) $
Dal momento che $ \ln n \ge 1 $ e $ \displaystyle \frac{{2n + 1}}{n} = 2 + \frac{1}{n} > 2 $ la disuguaglianza è verificata.
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HomoPatavinus
- Messaggi: 54
- Iscritto il: 23 mag 2006, 16:32
- Località: Padova
La tesi si può riscrivere come:
$ \displaystyle n^{\frac{1}{{n}^2}} > {(n+1)}^{\frac{1}{{(n+1)}^2}} $
Considerando la funzione f(x) in R:
F(x) = $ \displaystyle x^{\frac{1}{{x}^2}} $ se ne può calcolare la derivata, che è:
F'(x) = $ \displaystyle x^{\frac{1-x^3}{{x}^2}}{ (1-2\ln{x} ) $
essa è negativa per $ \displaystyle x > e^{\frac{1}{2}} $
Queste conclusioni si possono applicare ai numeri naturali: per n > 1 la funzione decresce e quindi la tesi è dimostrata.
(questa è la mia prima dimostrazione spero sia giusta )
p.s. perchè non mi funziona il comando \displaystyle ?
$ \displaystyle n^{\frac{1}{{n}^2}} > {(n+1)}^{\frac{1}{{(n+1)}^2}} $
Considerando la funzione f(x) in R:
F(x) = $ \displaystyle x^{\frac{1}{{x}^2}} $ se ne può calcolare la derivata, che è:
F'(x) = $ \displaystyle x^{\frac{1-x^3}{{x}^2}}{ (1-2\ln{x} ) $
essa è negativa per $ \displaystyle x > e^{\frac{1}{2}} $
Queste conclusioni si possono applicare ai numeri naturali: per n > 1 la funzione decresce e quindi la tesi è dimostrata.
(questa è la mia prima dimostrazione spero sia giusta
)p.s. perchè non mi funziona il comando \displaystyle ?