Fra algebra e topologia

[ubermensch]

Sia $ F_n $ il gruppo libero ad n generatori con $ n\in\bar{N}=N\cup\{\infty\} $. Mostrare che $ F_2 $ contiene copie di $ F_n\forall n\in\bar{N} $

[Nonno Bassotto]

Classico, ma molto carino . Per chi non l'ha visto la soluzione è piuttosto inaspettata.

[ubermensch]

io la soluzione topologica non la conosco...
quindi se hai tempo mi piacerebbe che la mettessi...

una soluzione algebrica penso si trovi facilmente
generando Z in maniera strana sfruttando il fatto
che il suo Frattini è banale.

[Nonno Bassotto]

La metto volentieri, ma prima aspetto se vuol provare qualcuno che non la conosce.
Ciao
PS Io non conosco quella algebrica, ma anche tu aspetta un po'

[ubermensch]

penso di aver trovato una soluzione topologica...
aspetto un pò a metterla.

Saluti

[ubermensch]

vabbè... io metto la mia soluzione

Voglio sfruttare il seguente noto:

teorema:
Sia $ p:E\rightarrow X $un rivestimento connesso di $ X $ allora il gruppo fondamentale
di $ E $ con punto base $ e $ si immerge in quello di $ X $ con punto base $ p(e) $.


Sia $ \{r_i\}_{i\in I} $ una famiglia al più numerabile di punti del piano $ R^2 $
e siano $ p,q\in R^2 $. Sia $ E=R^2-\{r_i\}_{i\in I} $ ed $ X=R^2-\{p,q\} $. Dunque
$ E $ ha gruppo fondamentale il gruppo libero ad $ n $(eventualmente infinito)
generatori ed $ X $ il gruppo libero a $ 2 $ generatori. Voglio rivestire $ X $ con $ E $.
Ora, $ E $ è un bouquet di una famiglia di circonferenze attaccate in un punto ed
$ X $ è un bouquet di due circonferenze attaccate in un punto. L'idea è di costruire
il rivestimento staccando i petali dal bouquet grande e appoggiarli su quello
piccolo, alternando una circonferenza e l'altra, facendo però prima una piccola
rotazione diciamo di $ \varepsilon+\frac{1}{2^n} $ (all'n-esimo passo).
Dunque questa mappa $ p $ è continua e surjettiva (la controimmagine di un aperto è
unione di aperti). Mostro che è un rivestimento: sia $ x\in X $ e $ V $ un aperto connesso
contenente $ x $, ovvero un arco di circonferenza, allora $ p^{-1}(V) $, grazie alla
rotazione (che è fondamentale!) è fatto da unione disgiunta di archetti (della stessa lunghezza
di V) delle varie circonferenze del bouquet grande, infatti l'unico punto in cui tale
unione potrebbe non essere disgiunta è nel punto in comune alle varie circonferenze, ma
per come è costruita la mappa, per ogni $ x\in X $ e $ V $ suo intorno connesso,
esiste un solo archetto della controimmagine che passa per il centro del bouquet grande.
Dunque, se $ e\in p^{-1}(V) $, la sua componente connessa dovrà necessariamente
essere uno di tali archetti, ed uno solo. Per cui, $ p $ ristretta a tale componente
connessa è un omeomorfismo su $ V $

bah... che ne pensate?

[moebius]

Non son sicuro di aver capito bene... Mi faresti un esempio con E=bouquet di 3 circonferenze?