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Sia $ F_n $ il gruppo libero ad n generatori con $ n\in\bar{N}=N\cup\{\infty\} $. Mostrare che $ F_2 $ contiene copie di $ F_n\forall n\in\bar{N} $

Classico, ma molto carino . Per chi non l'ha visto la soluzione è piuttosto inaspettata.

io la soluzione topologica non la conosco...
quindi se hai tempo mi piacerebbe che la mettessi...

una soluzione algebrica penso si trovi facilmente
generando Z in maniera strana sfruttando il fatto
che il suo Frattini è banale.

La metto volentieri, ma prima aspetto se vuol provare qualcuno che non la conosce.
Ciao
PS Io non conosco quella algebrica, ma anche tu aspetta un po'

penso di aver trovato una soluzione topologica...
aspetto un pò a metterla.

Saluti

vabbè... io metto la mia soluzione

Voglio sfruttare il seguente noto:

teorema:
Sia $ p:E\rightarrow X $un rivestimento connesso di $ X $ allora il gruppo fondamentale
di $ E $ con punto base $ e $ si immerge in quello di $ X $ con punto base $ p(e) $.


Sia $ \{r_i\}_{i\in I} $ una famiglia al più numerabile di punti del piano $ R^2 $
e siano $ p,q\in R^2 $. Sia $ E=R^2-\{r_i\}_{i\in I} $ ed $ X=R^2-\{p,q\} $. Dunque
$ E $ ha gruppo fondamentale il gruppo libero ad $ n $(eventualmente infinito)
generatori ed $ X $ il gruppo libero a $ 2 $ generatori. Voglio rivestire $ X $ con $ E $.
Ora, $ E $ è un bouquet di una famiglia di circonferenze attaccate in un punto ed
$ X $ è un bouquet di due circonferenze attaccate in un punto. L'idea è di costruire
il rivestimento staccando i petali dal bouquet grande e appoggiarli su quello
piccolo, alternando una circonferenza e l'altra, facendo però prima una piccola
rotazione diciamo di $ \varepsilon+\frac{1}{2^n} $ (all'n-esimo passo).
Dunque questa mappa $ p $ è continua e surjettiva (la controimmagine di un aperto è
unione di aperti). Mostro che è un rivestimento: sia $ x\in X $ e $ V $ un aperto connesso
contenente $ x $, ovvero un arco di circonferenza, allora $ p^{-1}(V) $, grazie alla
rotazione (che è fondamentale!) è fatto da unione disgiunta di archetti (della stessa lunghezza
di V) delle varie circonferenze del bouquet grande, infatti l'unico punto in cui tale
unione potrebbe non essere disgiunta è nel punto in comune alle varie circonferenze, ma
per come è costruita la mappa, per ogni $ x\in X $ e $ V $ suo intorno connesso,
esiste un solo archetto della controimmagine che passa per il centro del bouquet grande.
Dunque, se $ e\in p^{-1}(V) $, la sua componente connessa dovrà necessariamente
essere uno di tali archetti, ed uno solo. Per cui, $ p $ ristretta a tale componente
connessa è un omeomorfismo su $ V $

bah... che ne pensate?

Non son sicuro di aver capito bene... Mi faresti un esempio con E=bouquet di 3 circonferenze?