Ancora disuguaglianze da esercitazione

[Ani-sama]

Di seguito, un paio di disuguaglianze facili facili buone per esercitarsi...


1) Siano $ $a,b,c,d$ $ reali positivi. Dimostrare che:

$ $a^3cd + b^3da+c^3ab+d^3bc \geq (a+b+c+d)abcd$ $


2) Siano $ $x_1, x_2, x_3, x_4$ $ numeri reali positivi. Dimostrare che:

$ $\frac{x_1^2}{x_1+x_2} + \frac{x_2^2}{x_2+x_3} + \frac{x_3^2}{x_3+x_4} + \frac{x_4^2}{x_4+x_1} \geq \frac{x_1+x_2+x_3+x_4}{2}$ $

Questa se volete la potete generalizzare per $ $x_1, x_2, x_3 \cdots x_n$ $... non è difficile.


Buon divertimento!

[Boll]

Non credo fosse questa l'applicazione banale a cui si pensava, comunque è una cosa utile, quindi la posto.

1) Siano $ $a,b,c,d$ $ reali positivi. Dimostrare che:

$ $a^3cd + b^3da+c^3ab+d^3bc \geq (a+b+c+d)abcd$ $

La funzione $ $f(x)=\frac{1}{x} $ è convessa in $ R^{+} $

Quindi per Jensen

$ $ \sum \frac{a*f\left(\frac{b}{a}\right)}{a+b+c+d}\ge f\left(\sum \frac{b}{a+b+c+d}\right) $
$ $ \sum \frac{a^2}{b(a+b+c+d)}\ge 1 $

Moltiplicando per $ abcd(a+b+c+d) $

$ $ \sum a^3cd\ge abcd(a+b+c+d) $

q.e.d.

[edriv]

Grazie per il divertimento!

Prima disuguaglianza: (molto simile a quella postata da melkor) divido per abcd e cauchy-schwarz su a/sqrt(b), ... e sqrt(b),...
Seconda: da CS su a/sqrt(a+b),... e sqrt(a+b) ottengo (a+b+c+d)^2 <= LHS * 2(a+b+c+d) da cui la tesi. Naturalmente vale per qualsiasi n-upla.

[snagg]

EDIT: non è simmetrica, grazie pic

[pic88]

Possiamo assumere $ a^2\geq b^2 \geq c^2 \geq d^2 $

la disuguaglianza non è simmetrica per cui non si può fare così. Puoi al massimo fare una permutazione fino a rendere a maggiore o uguale a tutti gli altri.

[snagg]

uhm scusa mi manca la definizione di simmetrica. Me la puoi dire?

[pic88]

un'espressione in più variabili è simmetrica se
scambiando tra loro due variabili qualsiasi l'espressione resta la stessa.

[pi_greco_quadro]

Possiamo assumere $ a^2\geq b^2 \geq c^2 \geq d^2 $

la disuguaglianza non è simmetrica per cui non si può fare così. Puoi al massimo fare una permutazione fino a rendere a maggiore o uguale a tutti gli altri.

Quello che dici è vero pic però dal momento che $ a,b,c,d\in\mathbb R^+ $ puoi assumere tranquillamente $ a\geq b\geq c \geq d $

[pi_greco_quadro]

ok... visto che nessuno posta la seconda disequazione lo faccio io...
Prendiamo il caso generale in cui abbiamo $ x_1,x_2,\cdots,x_n\in\mathbb R^+ $
ora, è facile verificare che
$ \frac{x_1^2}{x_1+x_2}+\cdots+\frac{x_n^2}{x_n+x_1}=(x_1-x_2)+\frac{x_2^2}{x_1+x_2}+\cdots+(x_n-x_1)+\frac{x_1^2}{x_n+x_1} $$ =\frac{x_2^2}{x_1+x_2}+\cdots+\frac{x_1^2}{x_n+x_1} $
Perciò sarà sufficiente dimostrare che
$ 2\cdot\left(\frac{x_1^2}{x_1+x_2}+\cdots+\frac{x_n^2}{x_n+x_1}\right)=\left(\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1+x_2}+\cdots+\frac{x_n^2+x_1^2}{x_n+x_1}\right) $$ \geq x_1+\cdots+x_n $
Per $ QM^2\geq AM^2 $ abbiamo $ x_1^2+x_2^2\geq \frac{(x_1+x_2)^2}{2} $
Ovvero
$ \left(\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1+x_2}+\cdots+\frac{x_n^2+x_1^2}{x_n+x_1}\right)\geq $$ \frac{x_1+x_2+\cdots+x_n+x_1}{2}=x_1+\cdots+x_n $
$ Q.E.D. $

[pic88]

ok... visto che nessuno posta la seconda disequazione lo faccio io...

la seconda disequazione era già stata postata nel terzo intervento. a parte questo non riesco a convincermi della validità di porre a>=b>=c>=d

[pi_greco_quadro]

ok... visto che nessuno posta la seconda disequazione lo faccio io...

la seconda disequazione era già stata postata nel terzo intervento. a parte questo non riesco a convincermi della validità di porre a>=b>=c>=d

Allora mettiamola così... prendi un qualsiasi ordinamento di $ a,b,c,d $ dividi ambo i membri per $ abcd $ ed ottieni $ \frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{d}+\frac{d^2}{a}\geq a+b+c+d $ che, indipendentemente dall'ordinamento scelto è un'applicazione della disuguaglianza di riarrangiamento, ed è quindi vera.... spero di essere stato chiaro.. p.s. nn l'ho proprio vista la seconda disequazione.. mi scuso...
In alternativa moltiplichi ambo i membri sopra per (a+b+c+d) ed ottieni
$ (a+b+c+d)(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{d}+\frac{d^2}{a})\geq (a+b+c+d)^2 $ che è vera per Cauchy senza appello questa volta

[edriv]

Non sono d'accordo su quel riarrangiamento... tu sei "costretto" a usare Cauchy appunto perchè è ciclica e non simmetrica!

Prova ad esplicitare le n-uple ordinate che usi...

[thematrix]

Credo di aver capito:
in qualsiasi modo siano ordinati $ a,b,c,d $,il modo "peggiore" di accoppiare $ a^2 , b^2 , c^2 , d^2 $ e $ \frac{1}{a} , \frac{1}{b} , \frac{1}{c} , \frac{1}{d} $ è,per forza di cose, $ a^2 $ con $ \frac{1}{a} $ , $ b^2 $ con $ \frac{1}{b} $ ... quindi,anche senza porre $ a \geq b \geq c \geq d $,i quattro termini avranno un ordinamento,per cui la somma è sempre minima in quel caso.

[pi_greco_quadro]

quello che dice thematrix è corretto ed è esattamente quello che intendevo io.... dal momento che $ a,b,c,d\in\mathbb R^+ $, allora, dato un qualsiasi ordinamento (pongo ad ESEMPIO $ b^2\geq d^2\geq a^2 \geq c^2 $ ma qualsiasi altro ordinamento porta alla stessa conclusione) da cui ricavo, proprio perché tutti reali positivi (se così non fosse dovrei stare più attento ) $ \frac{1}{c}\geq\frac{1}{a}\geq\frac{1}{d}\geq\frac{1}{b} $.
Ora, la disuguaglianza di riarrangiamento mi dice che date due n-uple il modo peggiore di accoppiarle è moltiplicare il più grande $ a_i $ con il più piccolo $ b_i $ e così via, che guarda caso porta proprio a $ a+b+c+d $....
Ci tengo a spiegarlo perché con Cauchy è già meno banale la risoluzione però sembra più sicura ed affidabile (io l'ho risolta con Cauchy infatti), però regge anche il riarrangiamento, anche se me ne sono convinto dopo un bel pò che ci ho riflettuto su e ho chiesto pareri in giro.... questo è tutto... alla prox...