Trovare tutti gli interi positivi $ \displaystyle m,n $ tali che $ \displaystyle m^{n} = n^{m-n} $.
Bye,
#Poliwhirl#
Junior Balkan 1998
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darkcrystal
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1) Se m fosse minore di n, l'esponente a destra sarebbe negativo, pertanto il membro destro sarebbe intero solo se fosse =1, cioè n=1; ma allora si dovrebbe avere m<1 che è assurdo. Pertanto $ m \geq n $
2) Consideriamo ora l'equazione modulo n. Si ottiene che m è multiplo di n.
3) Sia ora m=kn.
$ \displaystyle (kn)^n=n^{n(k-1)} $. Prendendo la radice n-esima da entrambe le parti, $ kn=n^{k-1}, k=n^{k-2} $ da cui k è potenza di n e pertanto m è potenza di n.
4) Sia ora $ m=n^k $
Si ha: $ n^{kn}=n^{n^k} : n^n \Rightarrow n^{kn+n}=n^{n^k} $. Prendendo i logaritmi in base n, $ kn+n=n^k \Rightarrow k+1=n^{k-1} $, da cui si trovano facilmente le soluzioni per la coppia (n,k): (1,0); (3,2); (2,3). Per valori superiori di k si dimostra per induzione che ovviamente n=1 non funziona, e già per n=2 si ha $ 2^{k-1} > k+1 $: infatti per k=4 questa è vera, poi incrementando k di uno il membro sinistro aumenta di almeno 2^3 mentre il destro aumenta 1.
Concludendo, le soluzioni (n,m) sono (1,1); (3,9) e (2,8 )
2) Consideriamo ora l'equazione modulo n. Si ottiene che m è multiplo di n.
3) Sia ora m=kn.
$ \displaystyle (kn)^n=n^{n(k-1)} $. Prendendo la radice n-esima da entrambe le parti, $ kn=n^{k-1}, k=n^{k-2} $ da cui k è potenza di n e pertanto m è potenza di n.
4) Sia ora $ m=n^k $
Si ha: $ n^{kn}=n^{n^k} : n^n \Rightarrow n^{kn+n}=n^{n^k} $. Prendendo i logaritmi in base n, $ kn+n=n^k \Rightarrow k+1=n^{k-1} $, da cui si trovano facilmente le soluzioni per la coppia (n,k): (1,0); (3,2); (2,3). Per valori superiori di k si dimostra per induzione che ovviamente n=1 non funziona, e già per n=2 si ha $ 2^{k-1} > k+1 $: infatti per k=4 questa è vera, poi incrementando k di uno il membro sinistro aumenta di almeno 2^3 mentre il destro aumenta 1.
Concludendo, le soluzioni (n,m) sono (1,1); (3,9) e (2,8 )
"Solo due cose sono infinite: l'universo e la stupidità dell'uomo, e non sono tanto sicuro della prima" - Einstein
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