Pagelle e problemi..

enomis_costa88 · Messaggio da **enomis_costa88** » 07 giu 2006, 18:35

Visto che è piuttosto semplice se lo bruciate subito e non vi trattenete dalla tentazione di postare la soluzione potreste imbiancarla in modo da dare a tutti la possibilità i risolverlo?
grazie

I 20 alunni di una classe ricevono le pagelle e osservano che non ci sono 2 studenti che hanno entrambi i voti (scritto e orale) di matematica uguali.
Dirò che $ A_1 $ è più bravo di $ A_2 $ se $ A_1 $ ha entrambi i voti maggiori o uguali dei corrispondenti voti di $ A_2 $ (uno dei due essendo strettamente maggiore).

1) Si dimostri che esistono 3 alunni A,B,C tali chè A sia più bravo di B e B sia più bravo di C.
2)la tesi rimarrebbe vera per n<20?
Ovviamente i voti vanno da 1 a 10 (estremi compresi).

Buon lavoro, Simone.

Marco · Messaggio da **Marco** » 08 giu 2006, 08:41

Tranquilli, non posto la soluzione. Mi pare che venga da un Cesenatico verso il '95 o giù di lì...

Marco · Messaggio da **Marco** » 14 giu 2006, 13:02

Uff... il forum di Combinatoria langue... siete già tutti al mare? invidiainvidiainvidiainvidia...

Vabbè. Mettiamo qui la soluzione:

Per ogni studente, indico con (a,b) i suoi voti di scritto e orale rispettivamente.

19 studenti non bastano.

Infatti: se esistessero A,B,C con A migliore di B migliore di C, la somma dei voti di A sarebbe maggiore stretto della somma dei voti di B che sarebbe maggiore stretto della somma dei voti di C.

Ora, esistono 10 possibili voti con somma 11 (le coppie (a,11-a), per la precisione) e 9 possibili voti con somma 12 (le coppie (a,12-a) con a maggiore di 1).

Se i 19 studenti hanno preso esattamente le 19 coppie con somma 11 o 12, allora chiaramente A, B, C non possono esistere.

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20 studenti bastano.

Distinguo due casi: (i) esiste un voto di scritto [orale] preso da tre studenti.
(ii) altrimenti.

(i) Chiamo A, B, C i tre studenti. Posso assegnare i nomi in modo che il voto di orale [scritto] di A sia maggiore di quello di B, che sia maggiore di quello di C. A,B,C verificano le ipotesi e sono a posto.

(ii) Ci sono 10 voti di scritto [orale] disponibili, e 20 studenti. In più, sto ipotizzando che nessun voto compaia più di due volte. Ma allora tutti i voti di scritto [orale] devono comparire esattamente due volte.

Ci sono due studenti che hanno preso 10 in scritto. Chiamo A quello che ha il voto migliore in orale e B l'altro. Sia (10,V) il voto di B. Esistono due studenti che hanno V come voto di orale. Uno di essi è B. Chiamo C l'altro. Il voto di scritto di C è senz'altro peggiore del voto di B, quindi A,B,C verificano le ipotesi. []