Problema Cinque Di Un Foglio Volante

[Hammond]

Dimostrare che per a, b, c reali positivi

$ \displaystyle \frac1a + \frac1b + \frac1c \ge \frac{2}{a+b} + \frac{2}{b+c} + \frac{2}{c+a} \ge \frac{9}{a+b+c} $

[pic88]

(1/a+1/b)/2>=2/(a+b) (questa è semplice AM-GM se moltiplichiamo per 2(a+b)ab ed estraiamo la radice) da cui la prima disugualianza;
per l'altra c'è Jensen: sia s la somma a+b+c, ogni addendo è del tipo 2/(S-x), convessa per x < S....

[Boll]

Sono entrambe conseguenze della disuguaglianza media armonica-media aritmetica. La prima applicandola alle coppie (1/a,1/b) (1/b,1/c) (1/c,1/a) e sommando le tre disuguaglianze, la seconda applicando direttamente la disugaglianza alla terna (2/(a+b),2/(b+c),2/(c+a))

[edriv]

AM>HM tutte e due.
La prima, ottengo a/a+1/b >= 4/(a+b) (media aritm. tra 1/a e 1/b), sommo tutto e divido per due.
La seconda: x+y+x >= 9/(1/x+1/y+1/z), con x,y,z che sono 2/(a+b) e cicliche.

[Ani-sama]

La seconda è anche una diretta conseguenza di CS...

[/quote]