AI*BI*CI=4Rr^2

[Simo_the_wolf]

Preso un trianglo $ ABC $ sia $ I $ il suo incentro.

Dimostrare che $ AI*BI*CI=4Rr^2 $ dove $ r $ e $ R $ sono rispettivamente i raggi delle cfr inscritta e circoscritta ad $ ABC $

[Leandro]

Premetto che (vedi fig.):
$ $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqrt{pxyz} $ da cui $ $\frac{S^2}{p}=xyz $
Oppure :$ $xyz=Sr $
Per il teorema dei seni dal triangolo AIB si ha:
$ $IA=\frac{AB}{\sin((\alpha+\beta)/2)}\sin(\beta/2)=\frac{c \cdot\sin(\beta/2)}{\cos(\gamma/2)} $
Od anche:
$ $IA=c \cdot \tan(\gamma/2) \cdot \frac{\sin(\beta/2)}{\sin(\gamma/2)}=c \cdot \frac{r}{z}\cdot \frac{\sin(\beta/2)}{\sin(\gamma/2)} $
Formule analoghe si hanno a girare per IB e IC.
Moltiplicando e semplificando risulta:
$ $IA \cdot IB \cdot IC=abc \cdot \frac{r^3}{xyz}=abc \cdot \frac{r^3}{Sr}=4 \cdot \frac{abc}{4S}\cdot r^2=4Rr^2 $
Leandro